Universal Symmetry

A Snowflake
We don't have to examine nature very closely to see its beauty. A bird, a forest or a galaxy has a form of beauty which is typical of complex organised systems. A snowflake has another element to its beauty which is also very common in nature but which is often only evident on close inspection. We call it symmetry.

The snowflake begins its life as a minute hexagonal crystal forming in a cloud. During its passage from there to the ground, it experiences a sequence of changes in temperature and humidity which cause it to grow at varying rates. Its history is recorded in the variations of thickness in its six petals as it grows. This process ensures that each petal is virtually identical and accounts for the snowflakes symmetry.

When a snowflake is rotated through an angle of 60 degrees about its centre, it returns to a position where it looks the same as before. It is said to be invariant under such a transformation and it is invariance which characterises symmetry. The shape of the snowflake is also invariant if it is rotated through 120 degrees. It is invariant again if it is turned over. By combining rotations and turning over it is possible to find 12 different transformations (including the identity transformation which does nothing). We say that the order of the snowflakes symmetry is 12.

Consider now the symmetry of a regular tetrahedron. That is a solid shape in the form of a pyramid with a triangular base for which all four faces are equilateral triangles. The shape of a regular tetrahedron is invariant when it is rotated 120 degrees about an axis passing through a vertex. It is also invariant when rotated 180 degrees about an axis passing through the midpoints of opposite edges. If you make a tetrahedron and experiment with it you will find that it has a symmetry of order 12. But the symmetry of the tetrahedron is not quite the same as that of a snowflake because the snowflake has a transformation which must be repeated six times to restore it to its original position and the tetrahedron does not.

Mathematicians have provided precise definitions of what I meant by not quite the same. The invariance transformations of any shape form an algebraic structure called a group when you consider composition of transformations as multiplication. Two groups are isomorphic if there is a one-to-one mapping between them which respects the multiplication. Groups can be considered to be a mathematical abstraction of symmetry and mathematicians have spent a great deal of effort in classifying them but with only partial success. One spectacular achievement is the complete classification of finite simple groups which culminated in the discovery of the monster group which has 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 elements. It is a subject of great beauty in itself.

There are also infinite order symmetries described by infinite groups. The simplest example is the group of rotations in a plane which describes the symmetry of a circle. Mathematicians have also succeeded in classifying an important class of infinite dimensional groups known as semi-simple Lie groups.

Symmetry in physics
Symmetry is important in physics because there are all kinds of transformations which leave the laws of physics invariant. For example, we know that the laws of physics are the same everywhere. I.e. we can detect no difference in the results of any self contained experiment which depends on where we do it. Another way to say the same thing is that the laws of physics are invariant under a translation transformation. The infinite dimensional group of translation transformations is a symmetry of the laws of physics.

The next important example is rotation symmetry. The laws of physics are invariant under rotations in space about any axis through some origin. An important difference between the translation symmetry and the rotation symmetry is that the former is abelian while the latter is non-abelian. An Abelian group is one in which the order of multiplication does not matter, they commute. This is true of translations but is not true of rotations about different axis.

If the laws of physics are invariant under both rotations and translations then they must also be invariant under any combination of a rotation and a translation. In this way we can always combine any two symmetries to form a larger one. The smaller symmetries are contained within the larger one. Note that the symmetry of a snowflake is already contained within rotation symmetry. Mathematicians say that the invariance group of the snowflake is a subgroup of the rotation group.

Hidden Symmetry
Symmetry in physics is not always evident at first sight. When we are comfortably seated on the ground we notice a distinct difference between up and down, and between the horizontal and the vertical. If we describe the motion of falling objects in terms of physical laws which have the concept of vertical and horizontal built in then we do not find the full rotational symmetry in those laws. Many ancient philosophers thought that the Earth marked a special place at the centre of the universe. In such a case we could not say that the laws of physics were invariant under translations.

It was the Copernican revolution that changed all that. Newton discovered a law of gravity which could at the same time account for falling objects on Earth and the motion of the planets in the Solar system. From that point on it could be seen that the laws of physics are invariant under rotations and translations. It was a profound revelation. Whenever new symmetries of physics are discovered the laws of physics become more unified. Newton's discovery meant that it was no longer necessary to have different theories about what was happening on Earth and what was happening in space.

Once the unifying power of symmetry is realised and combined with the observation that symmetry is not always recognised at first sight, the great importance of symmetry is revealed. Physicists have discovered that as well as the symmetries of space transformations, there are also more subtle internal symmetries which exist as part of the forces of nature. These symmetries are important in particle physics. In recent times it has been discovered that symmetry can be hidden through mechanisms of spontaneous symmetry breaking. Such mechanisms are thought to account for the apparent differences between the known forces of nature. This increases the hope that there are other symmetries not yet found. Ultimately we may discover the universal symmetry which combines all other symmetries of physics.

Conservation Laws
During the centuries which followed Newton's work physicists and mathematicians came to realise that there is a deep relationship between symmetry and conservation laws in physics. The law of conservation of momentum is related to translation invariance, while angular momentum is related to rotation invariance. Conservation of energy is due to the invariance of the laws of physics with time.

The relationship was finally established in a very general mathematical form known as Noether's theorem. Mathematicians had discovered that classical laws of physics could be derived from a philosophically pleasing principle of least action. Noether showed that any laws of this type which have a continuous symmetry would have a conserved quantity which could be derived from the action principle.

Although Noether's work was based on classical Newtonian notions of physics. The principle has survived the quantum revolution of the twentieth century. In quantum mechanics we find that the relationship between symmetry and conservation is even stronger. There are even conservation principles related to discrete symmetries.

An important example of this is parity. Parity is a quantum number which is related to symmetry of the laws of physics when reflected in a mirror. Mirror symmetry is the simplest symmetry of all since it has order two. If the laws of physics were indistinguishable from their mirror inverse then according to the rules of quantum mechanics parity would be conserved. It was quite a surprise to physicists when they discovered that parity is not conserved in weak nuclear interactions. Because these interactions are not significant in our ordinary day-to day life, we do not normally notice this asymmetry of space.

Simple laws of mechanics as well as those of gravity and electrodynamics are symmetric under mirror inversion. They are also invariant under time reversal. This is a little surprising because our everyday world does not appear to be symmetric in this way, there is a clear distinction between future and past. Time reversal is also broken by the weak interaction but not enough to account for the perceived difference. There is a combined operation of mirror inversion and time reversal and a third operation which exchanges a particle with its antiparticle image. This is known as CPT. Again the universe does not appear to realise particle-antiparticle symmetry macroscopically because there seems to be more matter than anti-matter in the universe. However, CPT is an exact symmetry of all interactions, as far as we know.

Relativity
There is another symmetry which is found in ordinary mechanics. If you are travelling in a modern high speed train like the French TGV, on a long straight segment of track, it is difficult to tell that you are moving without looking out of the window. If you could play a game of billiards on the train, you would not notice any effects due to the speed of the train until it turned a corner or slowed down.

This can be accounted for in terms of an invariance of the laws of mechanics under a Galilean transformation which maps a stationary frame of reference onto one which is moving at constant speed.

When you examine the laws of electrodynamics discovered by Maxwell you find that they are not invariant under a Galilean transformation. Light is an electrodynamic wave which moves at a fixed speed c. Because c is so fast compared with the speed of the TGV, you could not notice this on a train. However, towards the end of the nineteenth century, a famous experiment was performed by Michelson and Morley. They hoped to detect changes in the speed of light due to the changing direction of the motion of the Earth. To everyone's surprise they could not detect the difference.

Maxwell believed that light must propagate through some medium which he called ether. The Michelson-Morley experiment failed to detect the ether. The discrepancy was finally resolved by Einstein when he discovered special relativity. The Galilean transformation, he realised, is just an approximation to a Lorentz transformation which is a perfect symmetry of electrodynamics. The correct symmetry was there in Maxwell's equations all along but symmetry is not always easy to see. In this case the symmetry involved an unexpected mixing of space and time co-ordinates. Minkowski later explained that Einstein had unified space and time into one geometric structure which was thereafter known as space-time.

It seems that Einstein was more strongly influenced by symmetry principles than he was by the Michelson-Morley experiment. According to the scientific principle as spelt out by Francis Bacon, theoretical physicists should spend their time fitting mathematical equations to empirical data. Then the results can be extrapolated to regions not yet tested by experiment in order to make predictions. In reality physicists have had more success constructing theories from principles of mathematical beauty and consistency alone. Symmetry is an important part of this method of attack.

Einstein demonstrated the power of symmetry again with his dramatic discovery of general relativity. This time there was no experimental result which could help him. Actually there was an observed discrepancy in the orbit of Mercury but this could just as easily have been corrected by some small modification to Newtonian gravity. Einstein knew that Newton's description of gravity was inconsistent with special relativity, and even if there were no observation which showed it up, there had to be a more complete theory of gravity which complied with the principle of relativity.

Since Galileo's experiments on the leaning tower of Pisa, it was known that inertial mass is equal to gravitational mass. Einstein realised that this would imply that an experiment performed in an accelerating frame of reference could not separate the apparent forces due to acceleration from those due to gravity. This suggested to him that a larger symmetry which included acceleration might be present in the laws of physics.

It took several years and many thought experiments before Einstein completed the work. He realised that the equivalence principle implied that space-time must be curved, and the force of gravity is a direct consequence of this curvature. In modern terms the symmetry he discovered is known as diffeomorphism invariance. It means that the laws of physics take the same form when written in any 4d co-ordinate system on space-time.

I would like to stress that the symmetry of general relativity is a much larger symmetry than any which had been observed in physics before. We can combine rotation invariance, translation invariance and Lorentz invariance to form the complete symmetry group of special relativity which is known as the Poincare group. The Poincare group can be parameterised by ten real numbers. We say it has dimension 10. Diffeomorphism invariance, on the other hand, cannot be parameterised by a finite number of parameters. It is an infinite dimensional symmetry.

Diffeomorphism invariance is a hidden symmetry. If the laws of physics were invariant under any change of co-ordinates in a way which could be clearly observed, then we would expect the world around us to behave as if everything could be deformed like rubber. The symmetry is hidden by the local form of gravity just as the constant vertical gravity seems to hide rotational symmetry in the laws of physics. On cosmological scales the laws of physics do have a more versatile form allowing space-time to deform, but on smaller scales only the Poincare invariance is readily observed.

Einstein's field equations of general relativity which describe the evolution of gravitational fields, can be derived from a principle of least action. It follows from Noether's theorems that there are conservation laws which correspond to energy, momentum and angular momentum but it is not possible to distinguish between them. A special property of conservation equations derived from the field equations is that the total value of a conserved quantity integrated over the volume of the whole universe is zero, provided the universe is closed. This fact is useful when sceptics ask you where all the energy in the universe came from if there was nothing before the big bang! However, the universe might not be finite.

A final remark about relativity is that the big bang breaks diffeomorphism invariance in quite a dramatic way. It singles out one moment of the universe as different from all the others. It is even possible to define absolute time as the proper time of the longest curve stretching back to the big bang. This fact does not destroy relativity provided the big bang can be regarded as part of the solution rather than being built into the laws of physics. In fact we cannot be sure that the big bang is a unique event in our universe. Although the entire observable universe seems to have emerged from this event it is likely that the universe is much larger than what is observable. In that case we can say little about its structure on bigger scales.

Gauge Symmetry
What about electric charge? It is a conserved quantity so is there a symmetry which corresponds to charge according to Noether's theorem? The answer comes from a simple observation about electric voltage. It is possible to define an electrostatic potential at any point in space. The voltage of a battery is the difference in this potential between its terminals. In fact there is no way to measure the absolute value of the electrostatic potential. It is only possible to measure its difference between two different points. In the language of symmetry we would say that the laws of electrostatics are invariant under the addition of a value to the potential which is the same everywhere. This describes a symmetry which through Noether's theorem can be related to conservation of electric charge.

In fact the electric potential is just one component of the electromagnetic vector potential which can be taken as the dynamical variables of Maxwell's theory allowing it to be derived from an action principle. In this form the symmetry is much larger than the simple one parameter invariance I just described. It corresponds to a change in a scalar field of values defined throughout space-time. Like the diffeomorphism invariance of general relativity this symmetry is infinite dimensional. Symmetries of this type are known as gauge symmetries.

Both diffeomorphism invariance and the electromagnetic symmetry are local gauge symmetries because they correspond to transformation which can be parameterised as fields throughout space-time. In fact there are marked similarities between the forms of the equations which describe gravity and those which describe electrodynamics, but there is an essential difference too. Diffeomorphism invariance describes a symmetry of space-time while the symmetry of electromagnetism acts on some abstract internal space of the components of the field.

The gauge transformation of electrodynamics acts on the matter fields of charged particles as well as on the electromagnetic fields. The phase of the matter fields is multiplied by a phase factor. Through this action the transformation is related to the symmetry group of the circle which is known as U(1).

In the 1960s physicists were looking for quantum field theories which could explain the weak and strong nuclear interactions as they had already done for the electromagnetic. They realised that the U(1) gauge symmetry could be generalised to gauge symmetries based on other Lie groups. As I have already said, an important class of such theories has been classified by mathematicians. They can be described as matrix groups which fall into three families parameterised by an integer N and five exceptional groups:

The orthogonal groups SO(N)
The unitary groups SU(N)
The symplectic groups Sp(N)
Exceptional Groups G2 F4 E6 E7 E8
The best thing about gauge symmetry is that once you have selected the right group the possible forms for the action of the field theory are extremely limited. Einstein found that for general relativity there is an almost unique most simple form with a curvature term and an optional cosmological term. For internal gauge symmetries the corresponding result is Yang-Mills field theory. From tables of particles physicists were able to conjecture that the strong nuclear interactions used the gauge group SU(3). The weak interaction was a little more difficult. It turned out that the symmetry was SU(2)xU(1) but that it was broken by a Higgs mechanism. By this use of symmetry theoretical physicists were able to construct the complete standard model of particle physics which has kept the experimentalists busy for 30 years.

Super symmetry
Symmetry is proving to be a powerful unifying tool in particle physics because through symmetry and symmetry breaking, particles which appear to be different in mass, charge etc. can be understood as different states of a single unified field theory. Ideally we would like to have a completely unified theory in which all particles and forces of nature are related through a broken symmetry.

A possible catch is that fermions and bosons cannot be related by the action of a classical group based symmetry. One way out of this problem would be if all bosons were revealed to be bound states of fermions. but the gauge bosons appear to be fundamental.

A more favourable possibility is that fermions and bosons are related by supersymmetry. Supersymmetry is an algebraic construction which is a generalisation of the Lie-group symmetries already observed in particle physics. It is a type of symmetry which can not be described by a classical group, but it has most of the essential algebraic properties.

If supersymmetry existed in nature we would expect to find that fermions and bosons came in pairs of equal mass. In other words there would be bosonic squarks and selectrons with the same masses as the quarks and electrons, as well as fermionic photinos and higgsinos with the same masses as photons and Higgs. The fact that no such partners have been observed implies that supersymmetry must be broken if it exists.

It is probably worth adding that there may be other ways in which supersymmetry is hidden. For example, If quarks are composite then the quark constituents could be supersymmetric partners of gauge particles. Also the creation and annihilation operators of fermions define a supersymmetry. Finally, Witten has found a mechanism which allows particles to have different masses even though they are supersymmetric partners and the symmetry is not broken.

There is now some indirect experimental evidence in favour of supersymmetry, but the main reasons for believing in its existence are purely theoretical. During the 1970s it was discovered that a form of space-time supersymmetry applied to general relativity provides a perturbative quantum field theory for gravity which has better renormalisation behaviour. This was one of the first breakthroughs of quantum gravity.

The big catch with supergravity theories is that they work best in ten or eleven dimensional space-time. To explain this discrepancy with nature theorists revived an old idea called Kaluza-Klein theory which was originally proposed as a way to interpret internal gauge theories geometrically. According to this idea space-time has more dimensions than are apparent. All but four of them are compacted into a ball so small that we do not notice it. Particles are then supposed to be modes of vibration in the geometry of these extra dimensions. If we believe in supergravity then even fermions fall into this scheme.

At one point supergravity looked very promising as a theory which might unify all physics. At the time I was a student at Cambridge University where Stephen Hawking was taking up his position as new Lucasian professor. There was great anticipation of his inaugural lecture and even though I made a point of turning up early I found only standing room in the auditorium. It was an exciting talk at which Hawking made some of his most famous comments. He confidently predicted that the end of physics was in sight. But early hopes faded as the perturbative calculations in supergravity became difficult and it seemed less likely that it defined a renormalisable field theory. Hawking maintains his controversial claim.

Supergravity was quickly superseded by superstring theory. String theories had earlier been considered as a model for strong nuclear forces but, with the addition of supersymmetry it became possible to consider them as a unified theory including gravity. In fact, supergravity is present in superstring theories.

Enthusiasm for superstring theories became widespread after Schwartz and Green discovered that a particular form of string theory was not only renormalisable, it was even finite to all orders in perturbation theory. That event started many research projects which are a story for another article. All I will say now is that string theory is believed to have much more symmetry than is understood, but its nature and full form is still a mystery.

String theory has also excited some mathematicians. They have found that in certain background space-times it has a symmetry described by the fake monster super Lie algebra which is related to the finite monster group.

Universal Symmetry
We have seen how symmetry in nature has helped physicists uncover the laws of physics. Symmetry is a unifying concept. It has helped combine the forces of nature as well as joining space and time. There are other symmetries in nature which I have not yet mentioned. These include the symmetry between identical particles and the symmetry between electric and magnetic fields in Maxwell's equations of electrodynamics. Symmetry is often broken or hidden so it is quite possible that there is more.

There is plenty of good reason to think that there is more. Both general relativity and quantum mechanics are full of symmetry so it would be natural to imagine that a unified theory of quantum gravity would combine those symmetries into a larger one. String theory certainly seems to have many forms of symmetry: conformal symmetries, W-symmetries dualities etc. There is evidence within string theory that it contains a huge symmetry which has not yet been revealed.

The information paradox in the thermodynamics of black holes might be solved by a hologram mechanism. This would require that the number of effective degrees of freedom in quantum gravity can be reduced by a large gauge transformation; more evidence for a peculiar hidden symmetry in quantum gravity.

It seems that there is some universal symmetry in nature that has yet to be found. It will be a symmetry which includes the gauge symmetries and perhaps also the symmetry of identical particles. The existence of this symmetry is a big clue to the nature of the laws of physics and may provide the best hope of discovering them with little further empirical data.

The importance of the symmetry in a system of identical particles is often overlooked. The symmetry group is the permutation group acting to exchange particles of the same type. The reason why this symmetry is not considered to be as important as gauge symmetry lies in the relationship between classical and quantum physics. There is an automatic scheme which allows a classical system of field equations derived from a principle of least action to be quantised. This can be done either through Dirac's canonical quantisation or Feynman's path integral. The two are formally equivalent. In modern quantum field theory a classical field is quantised and particles arise as a result. Gauge symmetry is a symmetry of the classical field which is preserved in the process of quantisation. The symmetry between identical particles, however, does not exist in the classical theory. It appears along with the particles during the process of quantisation. Hence it is a different sort of symmetry.

But the matter can not simply be left there. In a non-relativistic approximation of atomic physics it is possible to understand the quantum mechanics of atoms by treating them first of all as a system of classical particles. The system is quantised in the usual way and the result is the Schroedinger wave equation for the atom. This time we have gone from a classical particle picture to a field theory and the symmetry between particles existed as a classical symmetry.

This observation suggests that the relationship between classical and quantum systems is not so clear as it is often portrayed and that the permutation group could also be a part of the same universal symmetry as gauge invariance. This claim is now supported by string theory which appears to have a mysterious duality between classical and quantum formulations. A further clue may be that the algebra of fermionic creation and annihilation operators generate a supersymmetry which includes the permutation of identical particles.

What will the universal symmetry look like? The mathematical classification of groups is incomplete. Finite simple groups have been classified and so have semi-simple Lie groups. But infinite dimensional groups appear in string theory and these are so far beyond classification. Further more, there are new types of symmetry such as supersymmetry and quantum groups which are generalisations of classical symmetries. These symmetries are algebraic constructions which preserve an abstract form of invariance. They turn up in several different approaches to quantum gravity including string theory so they are undoubtedly important. This may be because of their importance in understanding topology. At the moment we don't even know what should be regarded as the most general definition of symmetry let alone having a classification scheme.

There seems little doubt that there is much to be learnt in both mathematics and physics from the hunt for better symmetry. The intriguing idea is that there is some special algebraic structure which will unify a whole host of subjects through symmetry, as well as being at the root of the fundamental laws of physics.

Edymar Gonzalez A
19.502.773
CRF

http://www.weburbia.com/pg/symmetry.htm

Topological states of quantum matter

Electrons in graphene can be described by the relativistic Dirac equation for massless fermions and exhibit a host of unusual properties. The surfaces of certain band insulators—called topological insulators—can be described in a similar way, leading to an exotic metallic surface on an otherwise “ordinary” insulator.

Most quantum states of matter are categorized by the symmetries they break. For example, the crystallization of water into ice breaks translational symmetry or the magnetic ordering of spins breaks rotational symmetry. However, the discovery in the early 1980s of the integer and fractional quantum Hall effects has taught us that there is a new organizational principle of quantum matter. In the quantum Hall state, an external magnetic field perpendicular to a two-dimensional electron gas causes the electrons to circulate in quantized orbits. The “bulk” of the electron gas is an insulator, but along its edge, electrons circulate in a direction that depends on the orientation of the magnetic field. The circulating edge states of the quantum Hall state are different from ordinary states of matter because they persist even in the presence of impurities. The reason for this is best expressed mathematically (it is related to the quantization of Berry’s phases, see, for example, Physics Today August 2003 [1]), and is not intuitively obvious, but the effect—circulating current—is real and measurable.

In the last few years, a number of theorists realized that the same “robust” conducting edge states that are found in the quantum Hall state could be found on the boundary of two-dimensional band insulators with large spin-orbit effect, called topological insulators. In these insulators, spin-orbit effects take the role of an external magnetic field, with spins of opposite sign counter-propagating along the edge [2-5]. In 2006, my colleagues and I predicted this effect (later confirmed) on the edge of HgTe quantum wells [2, 3]—the first experimentally realized quantum spin Hall state. In 2007 Liang Fu and Charles Kane of the University of Pennsylvania predicted that a three-dimensional form of the topological insulator with conducting surface states could exist in Bi1-xSbx, an alloy in which spin-orbit effects are large [6]. Earlier this year, photoemission measurements of the surface of Bi1-xSbx supported this picture [7], strongly suggesting that Bi1-xSbx is the first realization of a topological insulator in three dimensions and that its surface is a topological metal in two dimensions. Now, in an article appearing in the current issue of Physical Review B [8], the same authors and Jeffrey Teo present a detailed calculation of the electronic structure of the surface states in this material that can be directly tested in future experiments.

To understand why the surface of Bi1-xSbx is exotic, it helps to think about what a surface is like in a “normal” insulator. Recall that the surface and bulk states of electrons inside crystalline solids are described by wave functions obtained from solving Schrödinger’s equation. This quantum mechanical framework predicts that there are gaps in the electronic energy spectrum where no wave solutions are possible inside the bulk crystal. If the Fermi level lies inside this energy gap (or “band gap”), the solid is insulating. However, dangling bonds or a reorganization of atoms on the surface can introduce states that have energies that lie within the forbidden energy gap, but are restricted to move around the two-dimensional surface. In most situations these conducting surface states are very fragile and their existence depends on the details of the surface geometry and chemistry. In contrast, in a topological insulator, these surface states are protected, that is, their existence does not depend on how the surface is cut or distorted. Again, the reason for this is, at its root, mathematical, and lies in the fact that the Hamiltonian describing the surface states is invariant to small perturbations.

The concept of a topological insulator is perhaps confusing, because when we think of two objects as topologically distinct, we imagine the difference between say, a Möbius strip and a rubber band (Fig. 1). We can’t deform one into the other. The same is true for the Hamiltonian that describes a topological insulator: the Hamiltonian permits conducting states that circulate along the edge (in a two-dimensional insulator) or the surface (in the three-dimensional case) and no simple deformation to the edge (or surface) can destroy these conducting states. Moreover, the conducting states are real and can be measured, and in the case of the quantum spin Hall state, are naturally spin polarized, which can have interesting applications in spintronics.

What’s special about the surface of Bi1-xSbx that it has these properties? It turns out that the surface states of this alloy are similar to the two-dimensional states in graphene. Near the Fermi level, electrons and holes in graphene are described by energy states that are linear in momentum. Electrons with a constant velocity are conveniently described by the relativistic Dirac equation for massless fermions. (The electrons in graphene are not actually massless; the linear bands result from the atomic structure of this two-dimensional system.) In two-dimensional k-space, the dispersion relation looks like two cones that meet at discrete (Dirac) points at the Fermi level. However, while graphene has an even number of Dirac points at the Fermi level, Bi1-xSbx has an odd number. Kramers theorem tells us that the degeneracy of states with an even number of electrons that obeys time reversal symmetry will always be lifted. For this reason, the surface states in graphene are easily destroyed because a gap will open (they are “topologically trivial”) while the surface states of Bi1-xSbx are said to be “topologically protected” [10-13] (see Fig. 1). In fact, in graphene, if one distorts the energies of the two carbon atoms in one unit cell relative to each other, the Dirac points disappear immediately. In contrast, the massless Dirac states on the surface of Bi1-xSbx are robust, even if the surface itself is slightly imperfect or possesses impurities.

In their paper, Teo et al. use a tight-binding model (a well-established method for determining the band structure in an insulator) that they solve numerically to determine the electronic structure on a particular Bi1-xSbx surface. The model reproduces the surface structure of Bi1-xSbx and the authors can determine which surfaces will behave as topological metals. However, the paper also makes general symmetry arguments that are model independent that could potentially be applied to determine if other materials are good candidates for topological insulators.

Topological quantum states of matter are very rare and until recently the quantum Hall state provided the only experimentally realized example. The application of topology to physics is an exciting new direction that was first initiated in particle physics and quantum field theory. However, there are only a few topological effects that have been experimentally tested in particle physics. Topological states of quantum matter now offer a new laboratory to test some of the most profound ideas in mathematics and physics. In 2007, the theoretical prediction and experimental observation of the quantum spin Hall state—a topological insulator in two dimensions—in HgTe quantum wells was highlighted as one of the top ten breakthroughs among all sciences [2, 3, 9].

Topological states of quantum matter are generally described by topological field theories. Readers may already be familiar with Maxwell’s field theory describing the electromagnetic fields and Einstein’s field theory describing the gravitational fields. These field theories depend on the geometry of the underlying space. In contrast, topological field theories do not depend on the geometry, but only on the topology of the underlying space.

One of the most striking predictions of topological field theory is the so-called topological magnetoelectric effect, where an electric field induces a magnetic field along the same direction inside a topological insulator, with a constant of proportionality given by odd multiples of the fine structure constant [13]. Such a prediction can be readily tested in Bi1-xSbx . Although the tight-binding model that the authors use to calculate the electronic band structure for Bi1-xSbx is more complicated that that for HgTe, and there are some quantitative disagreements with the first principle calculations, its essential properties can be understood with a simple topological field theory.

Now that two topological states of quantum matter have been experimentally discovered—the quantum Hall and the quantum spin Hall states—one may naturally wonder about how they would fit into a bigger unifying picture. For example, the periodic table gives an organizational principle of all elements, and symmetry principles fit all elementary particles into their right places. The paper from the Kane group suggests that what we know about topological insulators may be just the tip of the iceberg and that other classification schemes exist as well. Once we discover the deeper organizational principle of topological states of quantum matter, we may be able to predict many more, each with its own unique and beautiful properties.

Illustration: Alan Stonebraker

Figure 1: When we think of topology, we normally think of objects that cannot be simply transformed into each other, such as a rubber band and a Möbius strip (top). The metallic surface of a topological insulator is different from an ordinary surface because its metallic nature is protected by certain symmetry invariants. In this sense, it cannot be simply transformed into the surface of a normal insulator. The sketches (bottom) show the electronic structure (energy versus momentum) for a “trivial” insulator (left) and a strong topological insulator (right), such as Bi1-xSbx. In both cases, there are allowed electron states (black lines) introduced by the surface that lie in the bulk band gap (the bulk valence and conduction bands are indicated by the green and blue lines, respectively). In the trivial case, even a small perturbation (say, changing the chemistry of the surface) can open a gap in the surface states, but in the nontrivial case, the conducting surface states are protected. Note that in the topological insulator, the surface states are linear in momentum and meet at an odd number of points in k-space

Nuevo condensado de Bose-Einstein en un chip de semiconductores

En una continuación de su reciente trabajo en Nature (Nature (2009) 457: 291-295), el grupo SEMICUAM de la Universidad Autónoma de Madrid revela la existencia de una rotura espontánea de simetría en microcavidades semiconductoras. Esta rotura está asociada con la formación de un estado condensado de tipo Bose-Einstein (estado de agregación de la materia que se da en ciertos materiales a muy bajas temperaturas).


En la escuela aprendemos que existen tres formas de materia: sólidos, líquidos y gases. Sin embargo, los físicos saben bien que esto es una gran simplificación y en la actualidad se consideran una gran cantidad de estados diferentes: basta con pensar en metales, aislantes, cristales líquidos, vidrios u otros más llamativos como superconductores o condensados de Bose-Einstein y estados superfluidos de la materia.

En este respecto, las preguntas que tratan de responder los físicos son: ¿qué es lo que distingue a estos estados diferentes de la materia? ¿Qué nos permite decir que el agua y el aceite de oliva son líquidos mientras que el silicio y el oro son sólidos? La experiencia muestra que la mayoría de las distintas fases de la materia se diferencia en su simetría. Consideremos agua y hielo: el agua, al tener sus moléculas distribuidas de forma irregular y desorganizada, tiene una simetría (bajo traslaciones y rotaciones) completa; sin embargo el hielo, al cristalizar y ocupar sus moléculas posiciones bien definidas en una disposición ordenada (cristal), tiene rotas ambas simetrías.

En Física se producen muchas roturas espontáneas de simetría cuando un sistema pasa de un estado simétrico a otro que no lo es, tal como en la transición de agua a líquido mencionada anteriormente o la magnetización de un imán. Jeremy Goldstone encontró un teorema, que lleva su nombre, que establece que cuando se rompe espontáneamente una simetría aparecen nuevas excitaciones colectivas del sistema. Estas excitaciones de baja frecuencia se denominan modos de Goldstone. La rotura de la simetría implica que los sistemas se vuelven rígidos: en los cristales aparece una rigidez a deformaciones de cizalla y ondas acústicas (fonones) de baja frecuencia; en los imanes una rigidez magnética y ondas de spin (magnones). En condensados de Bose-Einstein la rigidez conduce a la superfluidez.

Gracias, de nuevo, a la financiado a través de Programas como el Consolider QOIT del Ministerio de Ciencia e Innovación y el NANOCOMIC del Programa de Excelencia de la Comunidad de Madrid, el grupo SEMICUAM, en colaboración con colegas de la Ecole Polytechnique Federal de Laussane en Suiza, de la Universidad de Trento en Italia y del CNRS en París, reporta en el último número de Physical Review Letters (Phys. Rev. Lett. (2009). 102: 056402) la obtención de nuevos resultados experimentales, en los mismos chips utilizados en su reciente trabajo de Nature, que confirman la formación de un modo de Goldstone. Así corroboran y demuestran la presencia de “rigidez” y por tanto de superfluidez del condensado Bose-Einstein formado por la condensación de los polaritones en las microcavidades. La obtención de estados de polaritones coherentes y de vida larga es fundamental para los estudios futuros de la dinámica cuántica de sistemas condensados fuera del equilibrio.

Observación experimental de la dispersión (relación Energía-Momento) de polaritones en una microcavidad a través de su emisión de luz: (Arriba) En el caso de formación de un condensado tipo Bose-Einstein. (Abajo) En el caso de polaritones independientes (mostrado para comparación).La emisión está normalizada a 1 en una escala de color lineal.

Strong coupling

In a bulk semiconductor the translation invariance imposes strict selection rules for the optical transitions. The wavevector conservation is required. Thus, an electronic excitation with wavevector K is coupled with a single mode of the electromagnetic field with the same wavevector. This leads intrisically to a strong coupling regime and the system eigenstates are mixed ligth-matter states, the polaritons. Polaritons dispersion curves can be calculated (figure below rigth part) or measured by means of two-photon absorption or Hyper-Raman scattering techniques (figure below on the left).



Polariton dispersion in a bulk semiconductor (calculated rigthside and measured leftside)


For small wavevector the lower energy polariton shows a quasi-photonic dispersion and a quasi-excitonic one for large wavevectors. The situation is reversed for the upper polariton. However the observation of these coherent states is not straigthforward. Indeed, their coherence has to be preserved in both space and time domains. Strictly speaking a bulk semiconductor cannot produce a photoluminescence signal, the radiative recombination occurring only at the material surface. However a lot of decoherence sources exist in a real material and polaritons have a finite lifetime. Thus, excitonic recombination can be observed only dure to the presence of defects unavoidable in a solid medium. In a bulk semiconductor the excitonic recombination is somehow an extrinsic phenemenon. The picture is quite different in a semiconductor quantum well. The translation invariance is broken along the heterostructure growth axis Oz. The polaritons, which still exist in the plane perpendicular to the growth axis, are coupled to a continuum de electromagnetic modes along Oz. They are in a weak coupling regime, thus instable and give rise to a photoluminescence signal. In a quantum well the photoluminescence signal due to excitonic recombination is intrinsic and the presence of defects only modifies its properties.The life time of an exciton in a quantum well is given by with the semiconductor refraction index, the electron mass, and the excitonic oscillator stength per unit area.

When a quantum well is inserted in a microcavity the situation is deeply modified. In a microcavity a semiconductor layer with a thickness comparable to the ligth wavelength is placed between two Bragg reflectors. Such a mirror is schematized below and constituted by a stack of N pairs of semiconductor layers with different optical indices et .




Scheme of a Bragg reflector and corresponding reflectivity.

Its reflectivity reads: and is depicted in the above figure and are the refraction indices of the media located on the rigth and left sides of the mirror. The reflection band of the mirror ("stop-band") is given by : with the average index of the structure. When a low thickness semiconductor layer is inserted between two such mirrors one obtains a microcavity with only one electromagnetic mode in its stop-band as shown in the figure below.



Scheme of a microcavity and corresponding reflectivity spectrum.

The quantum well embedded in the cavity will be coupled with a single mode of the electromagnetic field in the direction Oz. One recovers a situation of strong ligth-matter coupling. This latter situation can be described phenomenologically by considering two interacting oscillators, the exciton with energy and spectral width and the cavity with energy and width . One obtains the system eigenenergies after diagonalization of the matrix : with , the coupling element, where and are the cavity length and index. The eigenenergies read :. At resonance equals and the energy splitting between the eigenstates (often named "Rabi splitting") is given by . This splitting is maximum for same exciton and cavity spectral widths. Nevertheless, the strong coupling regime is only reached for sufficient excitonic oscillator strengths when the Rabi splitting is larger than these latter spectral widths.

Experimentally the strong coupling can be observed in the reflection spectrum of the microcavity. The cavity layer is always grown with a thickness gradient. This allows to vary the length of the cavity by shifting the laser spot along the sample surface. When the exciton and cavity modes enter in resonance the reflection peak in the reflection spectrum splits. This splitting is characteristic from the appearance of the microcavity polaritons. The anticrossing curve of the two modes can be deduced from the reflection spectra as shown in the figure below.



Strong coupling in a semiconductor microcavity. Reflectivity spectra and anticrossing of the exciton and cavity modes (after C. Weibuch et al, PRL 69 (1992).

Edymar Gonzalez A
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http://www.lpa.ens.fr/spip/spip.php?article85&lang=en

Las simetrías en el Universo

¡El Universo! Ese misterio que nos gustaría conocer.

Richard Feynman expreso una vez que si le pidieran resumir en una frase el descubrimiento más importante de la Ciencia, elegiría contestar: “El mundo está hecho de átomos”. Cuando reconocemos que buena parte de la comprensión del Universo se basa en las interacciones y propiedades de los átomos (desde la razón de por qué las estrellas brillan y el cielo es azul a la explicación de por qué podemos sentir el contacto de nuestros dedos al golpear las teclas del ordenador y podemos ir viendo como aparecen nuestras ideas en forma de palabras escritas en la blanca pantalla como podemos ver con nuestros ojos) podemos entender muy bien la elección de Feynman para resumir en tan pocas palabras nuestro legado científico.

Muchos de los científicos más destacados del mundo han coincidido en que, si se les permite elegir una segunda frase, escogerían: “La simetría subyace a las leyes del Universo”, está claro el por qué de la elección. En el Universo primitivo era todo simetría y, cuando esta se rompió, aparecieron las fuerzas que hoy reconocemos, esas cuatro fuerzas fundamentales que todo lo rigen en el Cosmos.

Muchos han sido los descubrimientos que la Ciencia ha podido hacer en los últimos doscientos años, pero los descubrimientos más duraderos tienen una característica común: han identificado características del mundo natural que permanecen invariables incluso cuando son sometidas a un amplio conjunto de manipulaciones. Estos atributos invariables reflejan lo que los Físicos llaman simetrías, y han desempeñado un papel crucial y creciente en muchos avances importantes. Esto ha proporcionado abundantes pruebas de que la simetría –en todos sus aspectos misteriosos y sutiles- arroja una poderosa luz sobre nuestra ignorancia y, a través de su seguimiento y observación, no pocas veces hemos podido llegar a la verdad que la Naturaleza esconde. Esa poderosa luz a la que me refiero, alumbra de manera deslumbrante nuestra comprensión de las cosas, así que, allí donde podamos detectar una simetría, la atención tiene que ser máxima, ya que, a través de ella podemos llegar a comprender. Einstein lo hizo en su relatividad especial con la simetría que lleva consigo la velocidad de la luz que es invariante sea cual fuere la fuente y a la velocidad que esta se pueda mover.

La Historia del Universo no es ajena a la historia de la simetría que es el conjunto de invariancias de un sistema. Al aplicar una transformación de simetría sobre un sistema, éste queda inalterado. La simetría es estudiada sistemáticamente usando la teoría de grupos. Algunas de las simetrías son directamente físicas. Algunos ejemplos son las reflexiones y las rotaciones en las moléculas y las translaciones en las redes cristalinas. Las simetrías pueden ser discretas (es decir, cuando hay un número finito de transformaciones de simetría), como el conjunto de rotaciones de una molécula octaédrica) o continuas (es decir, cuando no hay un número finito), como el conjunto de rotación de un átomo o núcleo. Existen simetrías más generales y abstractas, como la invariancia CPT y las simetrías asociadas a las teorías gauge.

No quiero meterme aquí con el complejo mundo de la superconductividad o el ferromagnetismo al que nos llevaría una explicación de la simetría rota. Situación en la que el estado fundamental de un sistema de muchos cuerpos o el estado de vacío de una teoría cuántica de campos relativista tiene una simetría menor que el hamiltoniano o el Lagrangiano que define el sistema. Dejaremos la simetría rota para otra oportunidad en la que también comentaremos sobre el Teorema CPT.

Los momentos más decisivos en la evolución del universo son aquellos en los que equilibrio y orden cambian repentinamente, dando escenarios cósmicos cualitativamente diferentes de los de eras precedentes. La teoría actual sostiene que el universo pasó por varias de estas transiciones durante sus primeros momentos y que todo lo que hemos encontrado alguna vez es un residuo tangible de una época cósmica anterior y más simétrica.

Pero hay un sentido aún más amplio, un metasentido, en el que la simetría yace en el núcleo de un Cosmos en evolución. El propio tiempo está íntimamente entrelazado con la simetría. Como está claro para todos nosotros, la connotación práctica del tiempo (sea lo que este pueda ser) es, en realidad, una medida de cambio, así como la existencia misma de un tipo de tiempo cósmico que nos permite hablar razonablemente de cosas como “la edad y la evolución del universo en su conjunto”, se basa sensiblemente en aspectos de la simetría. Y conforme los científicos han observado esa evolución mirando atrás hacia el principio en busca de la verdadera naturaleza del espacio y el tiempo, la simetría se ha establecido como la más segura de las guías, una guía que nos ofrece ideas y nos da respuestas que de otra manera hubieran estado muy lejos de nuestro alcance.

Así que, podemos decir sin lugar a una ninguna duda que la simetría subyace en las leyes que rigen el mundo y, más bien creemos que dichas leyes funcionan exactamente de la misma manera independientemente de dónde podamos estar nosotros, y, lo mismo dará que estemos en la Vía Láctea o en Andrómeda, las leyes del universo harán que nuestros cuerpos funcionen según las rígidas normas que ellas nos imponen, ya que, son inalterables. Lo mismo podemos decir de las simetrías de traslación o invariancia de traslación. Se aplican no sólo a las leyes de Newton, sino también a las leyes del electromagnetismo de Maxwell, a la relatividad especial y general de Einstein, a la mecánica cuántica y a cualquier propuesta en la física moderna.

Claro que, no obstante, los detalles de sus observaciones y experiencias pueden variar y, a veces, lo hacen de un lugar a otro. No es lo mismo hacer un ejercicio gimnástico en la Luna que en la Tierra, la fuerza de Gravedad que actúa sobre nosotros en uno u otro lugar hará que, el resultado de la energía producida por nuestras piernas y el impulso del cuerpo al saltar, sea muy diferente de uno al otro lugar. De todas las maneras y, en general, la simetría rotacional o invariancia rotacional es prima hermana de la invariancia traslacional. Todos sabemos que los objetos estelares se mueven regidos por estas leyes de invariantes de la Naturaleza y se mueven en función de unas reglas que les vienen dadas por su densidad, otros cuerpos cercanos que inciden sobre ellos, etc.

Einstein entendió todo esto muy bien al incluir la velocidad de la luz entre las observaciones que no serían afectadas por su movimiento o por el movimiento de su fuente luminosa, sin importar a que velocidad se mueva una estrella, la luz que lanza al espacio en forma de fotones, siempre estará en la marca de 299.792.458 metros por segundo, la velocidad límite que el universo nos permite.

Einstein fue listo y, reconociendo que la velocidad observada depende generalmente del movimiento del observador, puedo captar la simetría a través de las grietas en las fachadas newtonianas de la Naturaleza, elevó la velocidad de la luz a la categoría de ley inviolable de la Naturaleza, declarándola inalterada por el movimiento.

Durante las últimas décadas, los físicos han elevado la simetría al más alto nivel de la escala explicatoria. Cuando encontramos una ley propuesta de la Naturaleza, una pregunta habitual y natural es: ¿por qué esta ley? ¿Por qué la relatividad especial?, ¿por qué la relatividad general? ¿Por qué la teoría del electromagnetismo de Maxwell? ¿Por qué las teorías de Yang-Mills de las fuerzas nucleares fuertes y débil? Una respuesta aceptable es que todas estas teorías hacen predicciones que han sido una y otra vez confirmadas hasta la saciedad con experimentos precisos. Lo cual, por supuesto, es esencial para la confianza que después todos nosotros podamos tener en estas teorías que, finalmente y al comprobar su certeza, se convierten en leyes.

Así, presentimos que ningún lugar del Universo es algo especial comparado con cualquier otro lugar por muy lejos que este pueda estar. De esa manera, los físicos tienen puesta la confianza en que la simetría de traslación debería estar entre las simetrías de la Naturaleza. Los objetos cosmológicos reflejan siempre, los mismos movimientos de rotación y traslación aquí que allí. Es decir, un sistema planetario situado en la Galaxia Chimax, tendrá las mismas normas que el Sistema planetario del Brazo de Orión que acoge al planeta Tierra. Otra cuestión será la presencia o no de vida que depende de factores que estarán o no estarán presentes.

Edymar Gonzalez A
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http://www.emiliosilveravazquez.com/blog/2010/03/05/las-simetrias-en-el-universo/

La ruptura de simetría tras el Big Bang fue la siembra del mundo

Estocolmo/Hamburgo, (dpa) - El Premio Nobel de Física 2008 fue otorgado por una explicación fundamental sobre la existencia de la humanidad: si las eyes de la naturaleza fueran perfectamente simétricas, no habría seres humanos, no habría Tierra, no habría estrellas. En realidad, el Universo carecería de materia.

La materia y antimateria se hubiesen anulado mutuamente después de la explosión inicial, el Big Bang. Por la investigación de las rupturas de simetría de la naturaleza, que entre otros permitieron la "supervivencia" de un pequeño sobrante de materia, el físico estadounidense Yoichiro Nambu comparte con sus colegas japoneses Makoto Kobayashi y Toshihide Maskawa el mayor premio de su disciplina.

Una ruptura de simetría semejante hizo posible que tras el Big Bang sobrara una única partícula de materia por cada alrededor de 10.000 millones de partículas de antimateria.

"Este sobrante de materia fue la siembra de todo nuestro Universo, que se llenó de galaxias, estrella y planetas, y por último de vida". Con estas palabras explicó hoy el Comité Nobel en Estocolmo la importancia fundamental de los trabajos premiados.

La ruptura de simetría que generó materia después del Big Bang es un hecho que aún no se comprende en su totalidad. Sin embargo, este tipo de rupturas de simetría tienen un papel también en otros ámbitos de la naturaleza.

Los físicos observaron este fenómeno en sus laboratorios ya en los años 60, pero no lo podían explicar. Kobayashi y Maskawa reconocieron en 1972 en la Universidad de Kyoto que las rupturas de simetría se podían integrar a la teoría vigente, en el caso de que existiera entre las partículas elementales, una tercera generación aún no descubierta de quarks.

Los quarks son los componentes más pequeños de los núcleos atómicos. En 1977 se halló el quark "bottom" y en 1994 finalmente el "top", el tercer par de quarks de la naturaleza.

Con la tercera generación de quarks descripta por los dos físicos japoneses se pudieron integrar las rupturas de simetría al Modelo Estándar, explicó Andrzej Jerzy Buras del Instituto de Física Teórica de la Universidad Técnica de Múnich, Alemania. "Eso funciona de manera fantástica".

El Modelo Estándar de nuestro mundo reúne las partículas elementales y tres de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza (la fuerza fuerte, la electromagnética y la débil; sólo queda por el momento excluida la gravedad).

También funciona bien, porque Yoichiro Nambu formuló la descripción matemática de las rupturas espontáneas de simetría en el mundo de las partículas elementales, que atraviesan en la actualidad del Modelo Estándar.

"Las rupturas espontáneas de simetría esconden el orden de la naturaleza debajo de una superficie desordenada", explicó el Comité Nobel e ilustró esto con el ejemplo de un lápiz, que está parado sobre uno de sus extremos: en cuanto cae para un lado se rompe la simetría y el orden se destruye.

"Nambu tuvo las extraordinarias ideas básicas. Los otros dos se encargaron luego de un problema irresoluto", dijo Lars Brink, del Comité Nobel.

Los trabajos de Kobayashi y Maskawa, sin embargo, no pueden explicar por qué después del Big Bang sobró algo de materia.

Respuestas a esta pregunta esperan obtener los científicos del nuevo acelerador de partículas, el gran colisionador de hadrones ("Large Hadron Collider", LHC), del Consejo Europeo para la Investigación Nuclear (CERN) en Ginebra.

Con este aparato de investigación, el más grande jamás construido por el hombre, los físicos esperan acercarse a las condiciones reinantes durante la explosión inicial y resolver de esta manera el enigma alrededor de nuestra existencia.

Edymar Gonzalez A
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http://www.elpais.co.cr/TECNOLOGIA/1008209.html

Observada la ruptura de la simetría temporal en un líquido de espín quiral gracias al efecto Hall anómalo

El magnetismo de un imán es debido a los momentos magnéticos libres (espines) de los átomos que lo constituyen. En un material paramagnético, al aplicar un campo magnético, estos espines se alinean paralelamente al campo, en otro caso están orientados al azar. Un imán permanente es un material ferromagnético en el que el acoplamiento entre los espines es suficientemente fuerte para mantener su alineamiento. Muchos materiales paramagnéticos dejan de serlo a muy baja temperatura debido a una ruptura espontánea de la isotropía (simetría continua de rotación) en su estado fundamental. Un paramagneto cuántico es un material que mantiene su paramagnetismo a temperaturas muy bajas.

Un líquido de espín es un paramagneto cuántico a temperatura nula, capaz de resistir las fluctuaciones cuánticas (como la frustación de la topología de la red cristalina) que evitan el establecimiento de un orden magnético en el límite de temperatura nula. Un líquido de espín quiral es un líquido de espín exótico en el que debido a la frustación se rompe alguna simetría discreta, como la inversión temporal o la paridad. Machida et al. han observado la ruptura de la simetría de inversión temporal en un líquido de espín quiral. La simetría T corresponde a cambiar la dirección del tiempo. Esta simetría está rota en la teoría electrodébil de la física de partículas elementales gracias a una transición de fase de primera especie. También está rota en la segunda ley de la termodinámica, pero como transición de fase de segunda especie. Machida et al. han observado macroscópicamente la ruptura de la simetría T en un líquido de espín gracias a la aparición espontánea del efecto Hall anómalo en un imán metálico frustado, Pr2Ir2O7. Un gran resultado experimental publicado en el artículo técnico de Yo Machida, Satoru Nakatsuji, Shigeki Onoda, Takashi Tayama, Toshiro Sakakibara, “Time-reversal symmetry breaking and spontaneous Hall effect without magnetic dipole order,” Nature, advance online publication, 9 December 2009.

PS (12 diciembre 2009): Una explicación para legos. El magnetismo de un material proviene de que sus átomos o moléculas se comportan como pequeños imanes. Ello es debido a que los electrones se comportan como pequeños imanes, tienen espín (los protones y neutrones del núcleo también). El espín es una propiedad cuántica relativista que no existe en física clásica y tratar de explicarlo me llevaría demasiado lejos. El magnetismo macroscópico tiene su origen en el magnetismo electrónico (de los electrones) con una contribución despreciable del magnetismo nuclear (de los protones y neutrones).

En un material sólido, una red cristalina, los pequeños imanes atómicos interactúan entre ellos mediante fuerzas magnéticas, que dependen de si un par de ellos apunta en la misma dirección (son paralelos) o en direcciones opuestas (son antiparalelos). La aplicación de un campo magnético externo genera una fuerza sobre todos los pequeños imanes, logrando que se reorienten como pequeñas brújulas. Cuando el campo magnético desaparece los pequeños imanes se reorientan buscando una configuración cuya energía sea mínima, que minimiza la energía de interacción entre los pequeños imanes. Las posibles configuraciones de energía mínima dependen de las propiedades (magnéticas) del material sólido considerado. Estas configuraciones son más “visibles” cuando el material es enfriado muy cerca del cero absoluto, ya que así se minimizan el efecto aleatorio de las vibraciones térmicas de la red cristalina.

El magnetismo de los pequeños imanes vecinos entre sí se suma resultando en un imán equivalente que interactúa con otros imanes equivalentes de otras configuraciones de vecinos. En la figura de arriba tenéis configuraciones de vecinos en triángulo, con espines en los vértices de Si, Sj, y Sk y espín total igual a κijk, y configuraciones en hexágono, equivalente a la suma de 3 triángulos. En ciertas redes cristalinas, debido a la geometría espacial de sus átomos o moléculas, las energías de interacción entre los pequeños imanes vecinos no pueden ser todas mínimas a la vez, y lo que se minimiza es la energía entre configuraciones de vecinos. Decimos que este material está “frustrado.” Esta correlación a gran distancia (mayor que la que separa imanes vecinos) entre grupos de vecinos es similar a la correlación entre moléculas de un sólido o de un líquido. Por ello, estos materiales “frustrados” se comportan termodinámicamente como sólidos magnéticos llamados “hielos de espín” o como líquidos magnéticos llamados “líquidos de espín.”

La frustración provoca que en el estado de mínima energía un grupo de espines vecinos pueda estar en múltiples configuraciones posibles compatibles con las configuraciones de otros grupos de vecinos a su alrededor. En los líquidos de espín estas configuraciones de vecinos permiten cierta “movilidad” similar a la de las moléculas que no están fijas a la red cristalina en un líquido convencional.

Los líquidos de espín cuánticos son materiales que a muy baja temperatura muestran propiedades magnéticas discretas, no continuas, o sea, cuantizadas. El estado de mínima energía (a temperatura T=0) de este material presenta un espín total nulo (S=0) y el siguiente estado de mínima energía, con un espín total igual a la unidad (S=1), se encuentra separado por un salto (bandgap) de energía. También hay líquidos de espín en los que el primer estado de energía presenta un espín total igual a un medio (S=1/2). Estos sistemas macroscópicos se han de describir mediante una función de onda cuántica Ψ(x,t). En general, esta función de onda cuántica es invariante ante simetrías de reflexión especular, Ψ(x,t)=Ψ(-x,t), es decir, la simetría P indica que el líquido de espín visto en un espejo tiene el mismo espín total en su primer estado cuántico. También, esta función de onda cuántica es invariante ante simetrías de reflexión temporal, Ψ(x,t)=Ψ(x,-t), es decir, la simetría T significa que la función de onda no cambia cuando todo movimiento “rotatorio” en cierto sentido invierte su sentido (recuerda que la imagen clásica del espín son movimientos rotatorios intrínsecos). Lo habitual es que un líquido cuántico sea invariante a simetrías P, T y PT.

Hay materiales en los que las interacciones entre los electrones de sus átomos o moléculas son tan fuertes que se comportan como si formaran partículas “efectivas” (cuasipartículas) de espín fraccionario (diferente de 1/2 y 1, por ejemplo 3/4). Esto ocurre en los materiales que presentan efecto Hall cuántico fraccionario. Al estar formados estos materiales por cuasipartículas de espín fraccionario, sus funciones de onda cumplen con la simetría PT, Ψ(x,t)=Ψ(-x,-t), pero no están obligados a cumplir con las simetrías P o T individualmente. Cuando un material de este tipo se comporta como líquido de espines cuántico hablamos de un líquido de espín cuántico quiral. En estos materiales se puede observar la ruptura de las simetrías P o T experimentalmente. Eso es lo que se ha logrado por primera vez en el artículo de Nature objeto de esta noticia, observar un líquido de espín cuántico quiral en el que se cumple que su función de onda macroscópica cumple que Ψ(x,t)≠Ψ(x,-t).

Edymar Gonzalez A
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LA PARTICULA DE DIOS

El bosón de Higgs es una partícula elemental hipotética masiva cuya existencia es predicha por el modelo estándar de la física de partículas. Es la única partícula del modelo estándar que no ha sido observada hasta el momento, pero desempeña un papel importante en la explicación del origen de la masa de otras partículas elementales, en particular la diferencia entre el fotón (sin masa) y los bosones W y Z (relativamente pesados). Las partículas elementales con masa y la diferencia entre la interacción electromagnética (causada por los fotones) y la fuerza débil (causada por los bosones W y Z) son críticos en muchos aspectos de la estructura microscópica (y así macroscópica) de la materia. Con esto, si la partícula existe, el bosón de Higgs tendría un enorme efecto en la física y el mundo de hoy.Hasta la fecha, ningún experimento ha detectado directamente la existencia del bosón de Higgs. El mecanismo de Higgs, lo que da masa al vector bosón, fue teorizado en 1964 por Peter Higgs, François Englert y Robert Brout que trabajaban en las ideas de Philip Anderson, e independientemente por G. S. Guralnik, C. R. Hagen y T. W. B. Kibble. Higgs propuso que la existencia de una partícula escalar masiva podría ser una prueba de la teoría, un comentario añadido a una carta a Physical Review en la que sugirió en la referencia. Steven Weinberg y Abdus Salam fueron los primeros en aplicar el mecanismo de Higgs a la ruptura espontánea de simetría electrodébil. La teoría electrodébil predice una partícula neutra cuya masa no sea muy lejana de la de los bosones W y Z.

Visión teórica general

La partícula llamada bosón de Higgs es un cuanto de uno de los componentes del campo de Higgs. En un espacio vacío, el campo de Higgs adquiere un valor esperado de vacío (VEV) diferente de cero que permanece constante en el tiempo y en todo lugar del universo. El VEV de un campo de Higgs es constante e igual a 246 GeV. La existencia de un VEV no nulo tiene una importancia fundamental: da una masa a cada partícula elemental, incluyendo al mismo bosón de Higgs. En particular, la adquisición espontánea de un VEV diferente de cero rompe la simetría gaugiana electrodébil, un fenómeno conocido como el mecanismo de Higgs. Este es el simple mecanismo capaz de dar masa a un bosón de gauge que es también compatible con la Teoría de campo de gauge.

En el modelo estándar, un campo de Higgs consiste en dos campos neutrales y dos cargados. Los dos componentes cargados y uno del neutro son bosones de Goldstone, que no tienen masa y se convierten, respectivamente, en los componentes longitudinales de tercera-polarización de los bosones W y Z (masivos). Lo cuántico de los restantes componentes neutrales corresponden a los bosones masivos de Higgs. Un campo de Higgs es un campo escalar, el bosón de Higgs tiene un espín cero y no tiene momento angular intrínseco. El bosón de Higgs es también su propia antipartícula y tiene simetría CPT.

El modelo estándar no predice el valor de la masa del bosón de Higgs. Si la masa de este bosón es entre 115 y 180 GeV, entonces el modelo estándar puede ser válido a todas las escalas energéticas hasta la escala de Planck (1016 TeV). Muchas teorías están a la expectativa de una nueva física más allá del modelo estándar que podría surgir a escalas de TeV, basadas en las carencias del modelo estándar. La escala más alta posible de masa permitida en el bosón de Higgs (o en alguna ruptura espontánea de simetría electrodébil) es de un TeV; tras ese punto el modelo estándar se vuelve inconsistente sin un mecanismo de ese tipo porque la unicidad es violada en ciertos procesos de dispersión. Muchos modelos de supersimetría predicen que el bosón de Higgs tendrá una masa sólo ligeramente por encima de los actuales límites experimentales, a unos 120 GeV o menos.

Investigación experimental

Hasta la fecha, el bosón de Higgs no ha sido observado experimentalmente, a pesar de los esfuerzos de los grandes laboratorios de investigación como el CERN o el Fermilab. La no observación de pruebas claras permite estimar un valor mínimo experimental de masa 114.4 GeV para el bosón de Higgs del modelo estándar, con un nivel de confianza del 95%. Un pequeño número de eventos no concluyentes han sido registrados experimentalmente en el colisionador LEP en el CERN. Éstos han podido ser interpretados como resultados de los bosones de Higgs, pero la evidencia no es concluyente. Se espera que el Gran Colisionador de Hadrones, ya construido en el CERN, pueda confirmar o desmentir la existencia de este bosón. El fascinante anillo de 27 km de circunferencia (llamado Large Hadron Collider) fue encendido el 10 de septiembre de 2008, como estaba previsto, pero un fallo en el sistema de enfriamiento que debe mantener los imanes a una temperatura aproximada de -271,3 °C detuvo el experimento, hasta el 20 de noviembre del 2009, dia en el que volvió a ser encendido, desde 450 GeV a 2.23 TeV. Pero fue apagado para realizarce ajustes y el 30 de marzo, volvió a ser encendido, aunque a potencia de 7 TeV. Eso si, no será hasta 2013 cuando funcione a pleno rendimiento.

La búsqueda del bosón de Higgs es también el objetivo de ciertos experimentos del Tevatrón en el Fermilab.

Alternativas al mecanismo de Higgs para la ruptura espontánea de simetría electrodébil

Desde los años en los que fue propuesto el bosón de Higgs, han existido muchos mecanismos alternativos al mecanismo propuesto por Higgs. Todas las otras alternativas usan una dinámica que interactúa fuertemente para producir un valor esperado del vacío que rompa la simetría electrodébil. Una lista parcial de esos mecanismos alternativos es:

• Technicolor es la clase de modelo que intenta imitar la dinámica de la fuerza fuerte como camino para romper la simetría electrodébil.
• El modelo de Abbott-Farhi de composición de los bosones de vectores W y Z.
• Condensado quark arriba

En la ficción

Hay que mencionar que los bosones de Higgs se denominan a veces, en algunos artículos populares, como las 'Partículas de Dios' o 'Partículas Divinas' a raíz del título de un libro no científico (libro de divulgación científica) escrito por Leon Lederman, laureado con el Nobel en 1988. Esta forma de nombrarlo está muchas veces envuelta con propiedades fantasiosas. En la teoría actual de la partícula sólo se desconoce el valor exacto de su masa (y está por confirmar su existencia).

En la película Solaris de Andréi Tarkovski basándose en la novela homónima del literato polaco Stanisław Lem, se teoriza que los "visitantes" puedan estar formados por bosones de Higgs, manipulados por la mente alienígena del océano planetario. Esto explicaría parte de las extrañas capacidades de transmutación, teletransporte, replicación y empatía de aquellos entes. La potencialidad de transcender la mortalidad humana (más patente en el remake cinematográfico protagonizado por George Clooney y Natascha McElhone) podría estar asociada con la denominación de estos bosones como "partículas de Dios". La novela hace otras alusiones a diversas teorías y leyes matemático-físicas, como la ley de los grandes números.

En la película Ángeles y demonios, basada en el libro del mismo nombre (del autor Dan Brown), se menciona al bosón de higgs como "la Partícula de Dios", relacionada al proceso de producción de la antimateria.

En el libro de ciencia ficción FlashForward, escrita por Robert J. Sawyer (1999), dos científicos desatan una catástrofe a nivel mundial mientras tratan de encontrar el esquivo Boson de Higgs

Edymar Gonzalez A
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Simetria de medida y Ruptura espontanea de simetria

Físicos teóricos han venido demostrando a través del uso de modelos computacionales sobre simulaciones de la teoría de campo que la simetría de Yang y Mills es bastante precisa, lo que implica entonces que ésta se mantiene totalmente oculta: todos los componentes del campo que se transforman con la operación de simetría (como los componentes rojo, azul y amarillo) tienen sus partículas cuánticas asociadas confinadas en una pequeña región de espacio, y jamás aparecen como verdaderas partículas. Se mantienen unidas y forman una bolsa o pelota: una partícula de gran masa. Tales objetos existen, como veremos en la sección siguiente; se corresponden con los hadrones observados, las partículas que interactúan vigorosamente, como el protón y el neutrón. La simetría exacta de Yang y Mills conlleva, de todos modos, el confinamiento de los cuantos del campo correspondiente, y por eso no aparecen directamente en la naturaleza.


















La otra posibilidad que se puede extraer del campo de Yang y Mills es que la simetría se rompa espontáneamente: las ecuaciones de campo poseen la simetría, pero la solución a las ecuaciones no. Como son las soluciones a las ecuaciones las que describen el mundo real de partículas cuánticas, la conclusión es que en el mundo real se rompe la simetría original y por eso no la vemos. Pero ¿cómo se puede romper así no más la simetría?

Para contestarnos esa pregunta, existe un buen ejemplo que ha expuesto el físico paquistaní Abdus Salam. Salam señala que supongamos que se invita a cenar en una mesa redonda a varias personas y que hay un plato de ensalada o servilleta-pan justo entre cada puesto o servicio. Los platos de ensalada están emplazados simétricamente entre los otros platos. La primera persona que se sienta, que no conoce las normas de etiqueta, puede elegir igual el plato de servilleta-pan que queda a su derecha que el que queda a su izquierda, y en cuanto hace su elección, la simetría original se rompe. Los demás, tendrán que seguir la tónica (si no, alguien se quedará sin su servilleta y el pan). No importa cuál sea la elección. Cualquier elección rompe la simetría original derecha-izquierda. La solución a una configuración simétrica rompe la simetría.

Pero estudiemos un ejemplo de una simetría rota espontánea más cercano a la física. Para ello, podemos tomar el ejemplo «ferroimán de Heisenberg». Un imán consta de gran cantidad de pequeños dominios magnéticos, que para nuestros propósitos podemos imaginar que son como pequeñas agujas de brújula, pequeños imanes en forma de barra que giran libremente. Supongamos que ponemos miles de esas agujas de brújula sobre el tablero de una mesa, de modo que todas ellas puedan moverse libremente. Imaginemos también, que la mesa está aislada del campo magnético de la tierra, de modo que el único campo magnético que haga reaccionar a una de esas agujas de brújula sea el producido por sus vecinas de la mesa.

Al principio, todas las agujas señalan direcciones al azar. El campo neto producido por todos los pequeños imanes orientados al azar tiene una media cero, porque los campos restan tanto como suman. Como no hay ningún campo magnético neto, si girásemos alrededor del plano de la mesa, no hallaríamos ninguna dirección norte–sur preferente. La situación física es, pues, rotatoriamente invariante, o simétrica, en el plano de la mesa.

Ahora supongamos que conseguimos orientar un grupo de agujas imantadas de una región, de modo que señalen todas en la misma dirección, produciendo su propio campo magnético neto. Podemos conseguirlo introduciendo un fuerte campo magnético externo en esa zona y retirándolo luego. El campo magnético neto de todas esas agujas orientadas hará que todas las demás sigan la misma tónica y apunten en igual dirección. Se rompe así la simetría rotatoria original porque hay una dirección norte–sur preferida: la dirección del campo magnético neto. Además, esta nueva configuración de todas las agujas (esta simetría rotatoria rota) es claramente la estable. Si modificamos manualmente la orientación de una o dos agujas, volverán a su orientación original una vez liberadas. El ferroimán de Heisenberg ejemplifica las ideas básicas de ruptura de simetría espontánea: aunque el estado físico original sea simétrico, es inestable; el estado de simetría rota es estable.

Los primeros trabajos que se conocen sobre de que las simetrías de medida podían romperse espontáneamente son los realizados ( por ahí, hacia 1965) por Peter Higgs, físico británico, y por Richard Brout y P. Englert, físicos de la Universidad de Bruselas. Ahora, si no se tiene algún dominio sobre el tema, es muy posible que se piense que se trata de algo que se encuentra al margen de la física real, como si fuera un bonito juego matemático, y hasta curioso. Ni siquiera el propio Higgs estaba seguro de que sirviera para algo. Cuando éste hizo las correspondientes publicaciones, para entonces, la mayoría de los científicos tampoco veían que tuviese aplicación a la física real.

Luego, entre 1967 y 1968, Steven Weinberg y Abdus Salam utilizaron la idea de Higgs en un modelo de teoría de campo de medida de Yang y Mills, que unificaba por primera vez dos fuerzas diferenciadas entre las partículas cuánticas: la fuerza electromagnética (que expresaba las interacciones de los fotones con la materia) y la fuerza débil (responsable de la desintegración de las partículas cuánticas). El modelo electrodébil de Weinberg y Salam incorporaba las ideas de otros físicos, sobre todo las de Julian Schwinger, Sheldon Glashow y John Ward. Hoy los físicos creen que ese modelo describe el mundo real. Pero prácticamente se ignoró hasta 1971, en que se demostró que las teorías tipo Yang y Mills eran renormalizables. Entonces, los físicos pudieron utilizar el modelo para hacer cálculos detallados de las interacciones débiles y electromagnéticas, igual que habían hecho cuando se había inventado la electrodinámica cuántica. Se inició así una revolución en la física teórica (la revolución de la teoría de campo de medida) que aún prosigue.




Ejemplo de simetría rota espontánea: aquí, la simetría derecha–izquierda de los platos de servilleta–pan situados en función de los puestos de una mesa de comensales. Si uno de los dos comensales elige un plato de servilleta y pan, la simetría derecha-izquierda se «rompe espontáneamente».



La idea medular de Higgs fue introducir un nuevo campo además del campo de medida, al que se denomina hoy «campo de Higgs»; carece de giro y tiene masa. La ventaja del campo de Higgs es que los físicos pueden utilizarlo matemáticamente para estudiar con gran detalle el proceso de ruptura de simetría. El campo de Higgs. es, en cierto modo, el «rompedor de simetría»: la primera persona que elige un plato de servilleta-pan o el campo magnético externo que fuerza a las agujas magnéticas a seguir una orientación común. Introduciendo adecuadamente el campo de Higgs se puede demostrar de forma matemática que la solución de la conservación de la simetría en las ecuaciones de campo es inestable: la simetría tiende a romperse, lo mismo que todas las agujas magnéticas quieren apuntar en la misma dirección. La solución inestable es algo equivalente a mantener en equilibrio un lápiz apoyado en la punta: es cilíndricamente simétrico respecto a la punta, pero inestable. Un leve roce le hará caer hasta alcanzar una configuración asimétrica pero estable. El campo de Higgs, como el lápiz, elige la solución de simetría estable aunque rota.

La ruptura de simetría en el campo de Higgs afecta a los campos de medida de Yang y Mills, quebrando también su simetría perfecta. Los campos de Yang y Mills carecen todos de masa en la situación simétrica, pero al romperse la simetría de medida, algunos la adquieren.

En el caso del modelo electrodébil, estos cuantos de campo de medida de gran masa corresponden a las partículas W y Z descubiertas experimentalmente en 1983 en el CERN, laboratorio europeo de alta energía ubicado en Ginebra, Suiza. Poseen masas inmensas, de más de noventa veces la masa del protón, consecuencia de la simetría rota. Curiosamente, las masas comprobadas de las partículas W y Z se ajustaban, como ha venido sucediendo hasta ahora, a las predicciones de la teoría, dándoles un desmentís a los grupos de escépticos y anticientíficos que proliferan en todas las sociedades. En época reciente, los teóricos de la física de partículas han gozado del placer de ver cumplirse en la naturaleza con tan bella perfección las ideas matemáticas abstractas. No son muchos los físicos que tienen dudas de que el concepto de simetría de medida rota pervivirá, ya que se hace muy difícil no concebirlo así debido a los conocimientos que se han alcanzado, los cuales llevan a considerar que si las leyes de la naturaleza fueran perfectamente simétricas, no existiría la vida, ya que no habría Tierra ni estrellas. En realidad, el universo carecería de materia. Lo anterior, se debería a que la materia y antimateria se habrían anulado mutuamente después de la explosión inicial, el Big Bang.

La ruptura de simetría que generó materia después del Big Bang es un hecho que aún no se comprende en su totalidad. Sin embargo, este tipo de rupturas de simetría tienen un papel también en otros ámbitos de la naturaleza. En efecto, los físicos observaron este fenómeno en sus laboratorios ya en los años 60, pero no lo podían explicar. No obstante, se llegó a la conclusión que las rupturas de simetría se podrían integrar a la teoría vigente, en el caso de que existiera entre las partículas elementales, una tercera generación aún no descubierta de quarks.

Como lo estudiaremos más adelante, los quarks son los componentes más pequeños de los núcleos atómicos. En 1977 se halló el quark bottom y en 1994 finalmente el top, el tercer par de quarks de la naturaleza. Con esos hallazgos, se pudo integrar las rupturas de simetría al modelo estándar, funcionando de una manera excelente. Anticipándonos a lo que vamos discutir inmediatamente después que terminemos de describir el tema programado para esta sección, el modelo estándar de nuestro mundo reúne las partículas elementales y tres de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza, sólo queda por el momento excluida la gravedad.

Como es habitual, viene a ser un hecho de la causa que todo éxito en física crea nuevos problemas y enigmas a un nivel más profundo. El mayor enigma es la gravedad. Ya hemos visto que la teoría relativista del campo cuántico es vástago de la unión de la relatividad especial y la teoría cuántica. Pero si queremos disponer de una teoría que incluya la gravedad, hemos de inventar una que combine la relatividad general con la teoría cuántica. A pesar de que algunas de las inteligencias más preclaras de la física llevan años luchando por resolver este problema, nadie ha conseguido hacerlo de modo sólido y coherente. Aunque se han dado pasos importantes, parece que la teoría cuántica de la gravedad se nos escapa. Se hace patente que para que los físicos puedan incorporar la gravedad a la teoría cuántica se necesitan, no sabemos si principios nuevos pero sí, por lo menos, profundizar más en los que se tienen.

ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE LA RUPTURA DE SIMETRÍA

En física se considera que la ruptura espontánea de simetría se produce cuando un sistema que es simétrico con respecto a alguna de las simetrías de grupo entra en un estado de vacío que no es simétrico. Cuando esto sucede, el sistema ya no aparece comportándose de una manera simétrica. Es un fenómeno que ocurre en la naturaleza en muchas situaciones.

Por su parte, el grupo de simetría puede ser diferenciado, como el espacial de un cristal, o el continuo (por ejemplo, un grupo de Lie), como ser la simetría de rotación del espacio. Sin embargo, si el sistema contiene una sola dimensión espacial sólo las simetrías diferenciadas pueden rupturarse en un estado de vacío en la teoría cuántica, aunque una solución clásica puede rupturar una simetría.
Para ayudar a explicar este fenómeno, concurramos a un ejemplo que consiste en una pelota que se halla en la cima de una montaña. En esa condición, la pelota está en un estado completamente simétrico. Sin embargo, ese estado se caracteriza por su inestabilidad, ya que la más mínima fuerza perturbacional, ocasionará que la pelota ruede montaña abajo en alguna dirección. En ese momento, la simetría se ha roto porque la dirección en la que la pelota ha rodado es una característica que la distingue de todas las demás direcciones.


EJEMPLO MATEMÁTICO DE RUPTURA DE SIMETRÍA

Uno de los ejemplos más simples, es el de una ruptura espontánea de campo descrita en el formulado de la teoría de campo escalar. En física, una de las amaneras de analizar una ruptura espontánea de simetría es concurriendo al lagrangiano, con el cual es posible evaluar cómo se comportará un sistema al poderse dividir en términos cinéticos y potenciales.

Donde es en el término del potencial (V (ϕ)) en que la acción de ruptura de simetría se da.





Este potencial tiene muchos posibles mínimos (estados de vacío), dados por





para cualquier positivo θ entre 0 y 2 π. El sistema también tiene un estado de vacío inestable correspondiente a ϕ = 0. Este estado tiene una simetría U (1). Sin embargo, una vez que el sistema entra en un específico y estable estado de vacío (que corresponde a una elección de θ), esta simetría se perderá o espontáneamente sufrirá una ruptura .

Gráfico de la función de ruptura espontánea de simetría en la ecuación [06.12.02]

Por otra parte, es importante tener presente que es posible obtener ruptura espontáneas de simetría en situaciones sin vacío y en sistemas no descritos por acciones. El concepto fundamental aquí es el parámetro de orden de las fases de transición de estado. Si hay un campo (a menudo un campo de fondo), que adquiere una expectativa de valor (no necesariamente un valor esperado de vacío), que no es invariante en virtud de la simetría en cuestión, podemos decir entonces, que el sistema se encuentra en la fase ordenada y la simetría es espontáneamente rotas . Esto se debe a que otros subsistemas interactúan con el parámetro de orden que constituye un «marco de referencia» que se medirán, por así decirlo, en contra. Ahora, si un estado de vacío obedece a la simetría inicial, entonces el sistema se dice que está en el modo de Wigner; si no es así y es lo contrario, estaría el sistema en el modo de Goldstone.

Finalmente, cuando estudiemos el modelo estándar, hemos contemplado describir cómo la ruptura espontánea de simetría se logra mediante el bosón de Higgs y que, a su vez, es responsable de las masas de los bosones W y Z. También, en ese trabajo que hemos señalado, aprovecharemos de discutir sobre el mecanismo de la interacción de Hideki Yukawa, donde se muestra cómo la ruptura de la simetría espontánea puede ser usada para dar masa a fermiones. Tampoco dejaremos de considerar en él, todos los aspectos a estudiar sobre la ruptura de simetría en la interacción electrodébil; además de otros que también interesan y que están relacionados con este tema.

Edymar Gonzalez A
19.502.773
CRF

http://www.astrocosmo.cl/b_p-tiempo/b_p-tiempo-06.12.htm