Analizan cómo se rompe la simetría cuando la materia cambia de estado

La ruptura de simetría tiene un papel muy importante en muchos fenómenos de la naturaleza. En mecánica cuántica y clásica, las simetrías implican leyes de conservación y la ruptura de una simetría significa que algún parámetro que caracteriza el sistema y que inicialmente está conservado deja de estarlo. Daniel Dagnino y Nuria Barberán, de la Universidad de Barceolna (UB), han analizado la ruptura de simetría en el proceso de nucleación de vórtices (en un sistema formado por átomos neutros que interaccionan de forma repulsiva y a cortas distancias) para describir, por primera vez, el estado superfluido en la transición, es decir, una superposición de estado con y sin vórtices.


Aunque el concepto de simetría parece ser mejor conocido, los fenómenos emergentes por la ruptura de simetrías son comunes en el mundo de la física. Por ejemplo, la expansión del universo después del Big Bang (la gran explosión que daría origen al universo) fue un ejemplo de este proceso. En la actualidad, los mecanismos de ruptura de simetrías son una de las áreas de estudio internacional más activas de la física.

"La ruptura de simetría puede observarse en cualquier sistema donde el estado de mínima energía esté degenerado", comenta Daniel Dagnino, estudiante de doctorado y primer autor del estudio que esta semana publica la revista Nature Physics.

"Los fenómenos que los provocan pueden ser diversos. Cuando se dan en sistemas degenerados, son rupturas espontáneas de simetría. Es el caso de los ferromagnetos, que son sistemas invariantes bajo rotaciones de todos los spins. Por debajo de la temperatura de Curie, este sistema rompe la simetría, escogiendo una dirección en que se orientan el spins, y es esta rotura la que da lugar a la magnetización. En otros sistemas, sin embargo, la ruptura es el resultado de pequeñas perturbaciones del sistema: es la ruptura de simetría provocada", explica Dagnino.

Los vórtices o cambios de estado

En este artículo, el equipo científico ha estudiado este proceso en la nucleación de vórtices (o momento de inicio de un cambio de estado en una región pequeña pero estable). La ruptura de la simetría en la nucleación se ha estudiado en un conjunto bidimensional de átomos neutros, sin spin, que interaccionan de forma repulsiva y a cortas distancias. 

Este conjunto de átomos se encuentra atrapado mediante la aplicación de un campo magnético que forma un pozo parabólico ligeramente deformado y que permite hacer girar el sistema en torno a un eje. El giro permite añadir un momento angular al conjunto de átomos. Esto es lo que precisamente provoca la formación del primer vórtice, haciendo que el sistema evolucione desde un estado en reposo a un estado de un vórtice, pasando por un estado precursor de la nucleación en el que se rompe la simetría de paridad.

Desde el descubrimiento de la superfluidez, el estudio de la nucleación de vórtices ha llamado la atención de la comunidad científica internacional. "En la investigación, nuestro objetivo era estudiar las rupturas de simetría y una de ellas se da durante el proceso de nucleación", cuenta Dagnino.

Para este investigador, "el modelo con el que trabajamos proporciona un instrumento teórico para medir las características de nuestro sistema. Además, los resultados son aplicables a un amplio abanico de sistemas cuánticos débilmente interactuantes. El hecho que exista una región donde el sistema se encuentra altamente correlacionado hace que la teoría de campo medio, que es la forma habitual de estudiar los sistemas condensados, no sea aplicable. La teoría de campo medio predice inestabilidades dinámicas que no reflejan la realidad del fenómeno".

Descubrir métodos más potentes para estudiar sistemas muy correlacionados y delimitar con más precisión la aplicación de las ecuaciones de campo medio a sistemas cuánticos son algunos de los objetivos de futuras líneas de investigación en este ámbito del conocimiento. "Los estados altamente correlacionados son también de gran interés para estudiar la información cuántica. De momento, se conoce bien la forma de manipular sistemas "clásicos", pero no "cuánticos" y por ello es interesante seguir avanzando en esta dirección", apunta Dagnino.

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La Fisica de las Simetrias

Es posible decir que la revolución conceptual más importante de la física moderna, al menos respecto del paradigma newtoniano, y aun incluso para el de Aristóteles, no lo constituyan ni la nueva teoría de la relatividad ni la mecánica cuántica. Por más de 2500 años la humanidad comprendió a las fuerzas como responsables iniciales de las transformaciones (movimiento para Aristóteles, movimiento acelerado para Newton, “probabilidades” para la mecánica cuántica). Sólo hace unas décadas la física ha incorporado definitivamente un paso anterior como “generador” de las interacciones, las simetrías. La física moderna de las interacciones fundamentales podría denominarse “la física de las simetrías”, ya que entendemos que estas son la causa primordial de la existencia de las fuerzas.




Las simetrías, esto es un conjunto de transformaciones que dejan un sistema invariante, fueron entendidas como esenciales ya en la mecánica clásica. En particular, la invariancia de un sistema clásico ante una traslación espacial implica automáticamente la conservación del impulso lineal del sistema, así como ante una rotación la del impulso angular, y ante una traslación temporal la de la energía. En el caso cuántico, además de las transformaciones clásicas involucrando coordenadas existen simetrías internas.


Por ejemplo, la invariancia de un sistema de partículas cargadas ante un cambio de fase global, esto es, tomando la función de onda de un sistema y multiplicándola por una fase constante (simetría implícita en la ecuación de Schrödinger), implica la conservación de la corriente eléctrica.


Uno de los grandes hallazgos durante la década de 1930 fue que si bien las ecuaciones que determinan la física de un electrón libre no son invariantes ante un cambio de fase local, esto es cambiando la fase de manera diferente en cada punto del espacio, es posible forzar esta invariancia agregando un término extra a la formulación.Este resulta ser idéntico al que identifica a la interacción entre el electrón y el campo electromagnético representado cuánticamente por el campo del fotón. Esto es, es posible obtener las ecuaciones de la electrodinámica cuántica (QED por su sigla en inglés) simplemente exigiendo que determinadas ecuaciones de la física cumplan con una simetría, conocida como la simetría de gauge. Si bien aún no sabemos exactamente por qué la naturaleza posee esta simetría, sí podemos decir que la interacción electromagnética pasa a ser una consecuencia de ella. Y ante tamaño hallazgo la manera de comprender nuevas interacciones en la física moderna consiste entonces en identificar cuál es la simetría de gauge subyacente (en la naturaleza) que la genera.


En el caso de la interacción fuerte el equivalente es la simetría conocida como de color. Uno de los descubrimientos modernos más importantes en el área de la física de partículas elementales de las últimas décadas lo consiste el hecho de que en realidad los quarks tienen un “número cuántico” extra al que denominamos color (¡sin ninguna relación con el color que se ve, claro!). En realidad no existe un único tipo de quark up, sino que hay tres casi idénticos en sus propiedades, cada uno de ellos con un color distinto. El color es para la interacción fuerte el equivalente de la carga eléctrica en el caso electromagnético. Esta interacción sólo acontece entre partículas con “carga de color”, los quarks. Notar que, a diferencia de la carga eléctrica, existen tres tipos distintos de “carga fuerte”. La simetría matemática subyacente en este caso surge de exigir a las ecuaciones fundamentales de la interacción fuerte (cuya teoría se conoce con el nombre de cromodinámica cuántica o QCD) que sean invariantes ante rotaciones en ese “espacio de color”, esto es que sean las mismas ante cambios en el color de los quarks. Esta copia “refinada” del electromagnetismo tiene como consecuencia la aparición de los bosones responsables de mediar la interacción fuerte, llamados gluones.


Los hadrones surgen justamente como las únicas combinaciones de quarks (y eventualmente antiquarks), tales que dan como resultado objetos sin color neto. Los quarks no pueden ser observados como partículas libres, ya que como la fuerza de color es tan intensa los estados de quarks coloreados son inestables. Estos rápidamente se separarán o mezclarán con otros quarks hasta formar arreglos sin color, con la consecuente disminución de la interacción correspondiente.


El proceso es similar al de la unión de iones (átomos cargados) entre sí hasta formar moléculas sin carga eléctrica neta, salvo que la interacción en este caso es muchos órdenes de magnitud mayor. Para probar la existencia de los quarks y los gluones fue necesario repetir experiencias del mismo tipo de la de Rutherford, realizando experimentos de dispersión de electrones sobre hadrones, pero con energías mucho mayores, del orden de varios GeV. La formulación matemática de la teoría de la cromodinámica cuántica fue completada por D. Gross, H. Politzer y F. Wilczek a principios de la década de 1970, trabajo por el cual recibieron el premio Nobel de Física 2004.


De manera similar, las interacciones débiles se entienden a partir de otra simetría de gauge similar involucrando, por ejemplo, la combinación de electrón con su neutrino o del quark u con quark d, dando lugar a la aparición de los correspondientes bosones de gauge W y Z para compensar el efecto de la mezcla.


El Modelo Estándar de las interacciones fundamentales justamente agrupa en un marco común a las tres interacciones, sin llegar a unificarlas totalmente, ya que cada una de ellas depende de una constante de acoplamiento que determina la intensidad de la interacción, y que es independiente para cada teoría de gauge (aunque en el caso electro-débil se produce una mezcla entre ambos acoplamientos).




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CRISTALOQUÍMICA

La cristaloquímica estudia las propiedades químicas especiales que los cristales adquieren según el tipo de elemento que está presente en la red y las clasificaciones respecto de las mismas. Trata de predecir la estructura del cristal de una composición química dada bajo ciertas condiciones del ambiente y modelar sus posibles transformaciones de fases.

Cada nudo de la red de un cristal está ocupado por un átomo, ion, grupo iónico o moléculas que se mantienen unidos por distintos tipos de enlaces químicos con diferentes resistencias. Cada nudo representa la posición de equilibrio que sólo se alcanza totalmente en la temperatura cero, las partículas oscilan constantemente de manera que a mayor temperatura más se agitan y pueden distorsionar la red destruirla. Cuando ocurre se pasa del estado sólido al líquido.

Edificios iónicos

Características del enlace iónico
El enlace iónico es debido a fuerzas de atracción electrostática y no direccional entre iones de signo opuesto producidos por transferencia de electrones entre átomos de elementos de elevada diferencia de electronegatividad.

Como hemos indicado anteriormente, siempre que se forma un enlace, (del tipo que sea), se produce una liberación de energía, es decir, que el nivel de energía de los átomos unidos es menor que el de los átomos por separado.

En el caso de los compuestos iónicos se tiene que formar una red cristalina para que se produzca esa liberación de energía como ahora veremos en un ejemplo. Vamos a analizar la formación de NaCl a partir de los átomos libres de Na y Cl en estado gaseoso:
Na (g) + Cl2 (g) à Na+ (g) + Cl‑ (g) à ( Na+Cl‑)n (s)

El NaCl es un sólido en el que 6 iones Cl-‑ rodean a un ion Na+ y a su vez cada ion Cl‑ es rodeado por 6 iones Na+ formando una red tridimensional en la que la relación es 1:1, es decir, un ion sodio por cada ion cloro:



Aunque muchas veces se indique que los metales tienden a perder electrones, este fenómeno es siempre energéticamente desfavorable al igual que la aceptación de electrones por parte de los no metales, (salvo en el caso de algunos halógenos).
Desde el punto de vista energético este proceso es desfavorable ya que hay que aportar 148 KJ/mol, (aporte de energía necesario para que los átomos se ionizaran en estado gaseoso). No obstante, la formación de la red cristalina libera gran cantidad de energía por la atracción electrostática que ahora sufren los iones.

Imaginemos los iones Cl‑ y Na+ infinitamente separados en estado gas y que se van acercando para formar el enlace. En un principio se libera energía por la atracción de los iones, pero cuando éstos están muy cerca, empiezan a tener importancia las repulsiones entre los electrones y entre los núcleos de los iones, por lo tanto existe una distancia interiónica para la que la energía potencial electrostática pasa por un mínimo y, en consecuencia, se libera la máxima energía.

Sin embargo la formación de la red cristalina libera una cantidad de energía mucho mayor debido a que un ion Cl‑ es atraído por más de un ion Na+ y viceversa. En el caso de NaCl, la energía liberada al pasar de iones gaseosos a la red cristalina, (energía reticular), es de ‑790 KJ/mol (mayor que la calculada para dos iones aislados que era de – 580,4 KJ/mol). En definitiva, la energía necesaria para la ionización (que es de 148 KJ/mol), se ve compensada con la que se libera al formarse el cristal (‑790 KJ/mol).

Todos aquellos elementos cuya energía de ionización se vea compensada suficientemente por la energía reticular, tendrán tendencia a formar este tipo de enlace. Esto ocurre únicamente cuando se combinan elementos muy electronegativos, (anfígenos y halógenos), de alta afinidad electrónica con elementos poco electronegativos, (alcalinos, alcalinotérreos), de bajo potencial de ionización.

Ahora bien, no existe un enlace iónico puro (del 100 %), lo que quiere decir, que no hay una transferencia total de electrones del metal al no metal, habiendo siempre una parte de compartición de éstos entre los dos átomos enlazados.
La mayoría de las sales que provienen de oxoácidos son también de naturaleza iónica; el anión está formado por varios átomos y también forman redes cristalinas. Lo mismo le ocurre al catión amonio.
Los sólidos iónicos pueden cristalizar en varios tipos de redes. El que lo haga en un tipo u otro de red depende fundamentalmente del tamaño de los iones que la forman y de la carga que posean. Aquí tienes otras estructuras cristalinas diferentes de compuestos iónicos:





El cambio energético producido en la formación de un sólido iónico a partir de los elementos que lo constituyen, puede calcularse a partir del llamado ciclo de Born – Haber (que es un caso particular de la ley de Hess).


Propiedades de las sustancias iónicas

No contienen átomos sino iones y puesto que las fuerzas electrostáticas son muy fuertes, tendrán puntos de fusión y de ebullición muy altos.

En estado sólido no conducen la electricidad, ya que los iones tienen posiciones fijas y carecen de movilidad, pero, al fundirse o disolverse en agua, se desmorona la red cristalina quedando los iones en libertad, por lo que estos compuestos fundidos o disueltos conducen la electricidad.

Son sólidos muy duros porque las fuerzas electrostáticas que unen los iones son grandes, pero también son frágiles, ya que, al haber un ordenamiento tan perfecto en la red, pequeños desplazamientos de los iones hacen que las fuerzas que antes eran de atracción pasen a ser de repulsión, por lo que el sólido se rompe:



En general, los sólidos iónicos son solubles en disolventes polares y no en apolares, ya que, las moléculas del disolvente se colocan alrededor de los iones (orientando sus dipolos de forma adecuada), y éstos se separan de la red cristalina.

Hay que tener en cuenta que, no todas las sustancias que en disolución dan iones son sustancias iónicas; también lo hacen algunas sustancias covalentes polares como HCl o H2SO4.




Edificios covalentes


Enlaces de las sustancias covalentes

Las sustancias covalentes son gigantescas agrupaciones de átomos unidos por enlaces covalentes formando sólidos con redes tridimensionales. Dichos átomos deben tener una electronegatividad elevada, junto con la capacidad de tener tres o cuatro electrones enlazantes para formar fuertes enlaces covalentes. Se puede considerar a todo el sólido como una gran molécula.
Ejemplos de estas sustancias son el carbono diamante, el cuarzo (dióxido de silicio), el carburo de Silicio, etc.


Propiedades de las sustancias covalentes

Como los átomos están unidos por fuertes enlaces covalentes muy estables, no es de extrañar que, estos sólidos sean extremadamente duros, tengan puntos de fusión muy altos y sean virtualmente insolubles; sólo se disuelvan en compuestos que reaccionen químicamente con ellos. Tienen escasa conductividad eléctrica debido a la gran localización de los electrones en las regiones donde se encuentran los enlaces covalentes que hacen que sean incapaces de moverse libremente por la acción de un campo eléctrico externo.

Estructura cristalina de algunas sustancias covalentes:

a) Cuarzo: El cuarzo es una estructura particular de cristalizar el dióxido de silicio. Cada átomo de Si se encuentra enlazado con 4 de O y a su vez cada O está unido a dos Si mediante enlaces covalentes polares, formando una red de gran número de átomos, (SiO2).







b) Carbono diamante: En el carbono diamante, los átomos de carbono se unen para formar un retículo cristalino de dimensiones infinitas, en la que cada uno de ellos se une a otros cuatro mediante enlaces covalentes puros formando estructuras tetraédricas. Esto explica su elevada dureza, su baja reactividad, su nula conductividad eléctrica y su casi infusibilidad.

c) Carbono grafito: Es otra estructura cristalina del carbono. Mientras que el carbono diamante es una red tridimensional, el grafito es un sólido con redes en forma de capa. Contiene agrupaciones de átomos de carbono unidos por enlaces covalentes puros, de dimensiones infinitas, pero en dos direcciones. De los cuatro electrones que tiene cada uno de los átomos de carbono, tres se utilizan para unirlo con un enlace covalente puro a otros tres en un mismo plano formando estructuras hexagonales de seis átomos, y el cuarto electrón está deslocalizado entre los planos tratando de unirlos. En virtud de esta estructura, el carbono grafito es conductor de la electricidad y del calor, carece de la dureza del diamante y se exfolia fácilmente, es decir, se puede laminar.







Edificios metálicos


La gran mayoría de los elementos conocidos son metálicos. Todos ellos son conductores del calor y de la electricidad. Se caracterizan por tener pocos electrones en su última capa y

bajo potencial de ionización.

Los compuestos formados entre los metales se llaman aleaciones y no obedecen, generalmente a las reglas de la estequiometría; así, el cobre disuelve al cinc en cantidades que pueden variar desde la traza hasta el 38'4%. Cualquier aleación de estos dos elementos entre esos dos porcentajes recibe el nombre de latón, y como no posee una composición definida se le clasifica como una simple disolución, aunque sus iones estén unidos por fuertes enlaces metálicos.

Todavía hoy no se conoce un modelo que explique de forma convincente como se unen los átomos de los metales. Estudios de rayos X confirman que en la red cristalina existen iones. Sin embargo debe descartarse el modelo de enlace iónico porque ello supondría la transferencia de electrones lo cual no es lógico en átomos iguales. Por otra parte el enlace covalente también queda descartado ya que en este caso los e‑ estarían localizados y los metales no conducirían la electricidad lo que no es cierto.
Para explicar los hechos existen dos teorías:



El modelo del gas de electrones

Es el modelo más sencillo basado en la intuición más que en conocimientos científicos rigurosos y está sustentado en las siguientes hipótesis:
Los átomos metálicos pierden sus electrones de la capa de valencia quedándose cargados positivamente.

Los cationes forman una red tridimensional ordenada y compacta cuya estructura depende en gran medida del tamaño de los cationes del metal.
Los electrones de valencia liberados ya no pertenecen a cada ión sino a toda la red cristalina, rodeando a los cationes como si fuesen un gas de electrones, neutralizando la carga positiva.

El gas de electrones se mueve libremente dentro de la red cristalina de cationes y no puede escapar de ella debido a la atracción electrostática con los cationes.
es decir, el modelo sugiere que los electrones de valencia están totalmente libres y deslocalizados, formando una nube electrónica que interacciona simultáneamente con muchos cationes. Esto explicaría la presencia de iones y la conductividad eléctrica de los metales. Por lo tanto, al hablar de un metal como el Fe, habría que hablar de una gran macromolécula Fen.






La teoría de bandas

La teoría de bandas está basada en la mecánica cuántica y procede de la teoría de los orbitales moleculares (TOM). En esta teoría, se considera el enlace metálico como un caso extremo del enlace covalente, en el que los electrones de valencia son compartidos de forma conjunta y simultánea por todos los cationes. Desaparecen los orbitales atómicos y se forman orbitales moleculares con energías muy parecidas, tan próximas entre ellas que todos en conjunto ocupan lo que se franja de denomina una “banda de energía”.

Aunque los electrones van llenando los orbitales moleculares en orden creciente de energía, estas son tan próximas que pueden ocupar cualquier posición dentro de la banda.

La banda ocupada por los orbitales moleculares con los electrones de valencia se llama banda de valencia, mientras que la banda formada por los orbitales moleculares vacíos se llama banda de conducción. A veces, ambas bandas se solapan energéticamente hablando.

Este modelo explica bastante bien el comportamiento eléctrico no solo de las sustancias conductoras sino también de las semiconductoras y las aislantes.
En los metales, sustancias conductoras, la banda de valencia se solapa energéticamente con la banda de conducción que está vacía, disponiendo de orbitales moleculares vacíos que pueden ocupar con un mínimo aporte de energía, es decir, que los electrones están casi libres pudiendo conducir la corriente eléctrica.
En los semiconductores y en los aislantes, la banda de valencia no se solapa con la de conducción. Hay una zona intermedia llamada banda prohibida.

En los semiconductores, como el Silicio o el Germanio, la anchura de la banda prohibida no es muy grande y los electrones con suficiente energía cinética pueden pasar a la banda de conducción, por esa razón, los semiconductores conducen la electricidad mejor en caliente. Sin embargo, en los aislantes, la banda prohibida es tan ancha que ningún electrón puede saltarla. La banda de conducción está siempre vacía.





Propiedades de las sustancias metálicas

Las propiedades de las sustancias metálicas difieren mucho de unas a otras, pero vamos a hablar en general de todas ellas:

1.-Densidad: El empaquetamiento compacto de los iones en la red cristalina metálica hace que las densidades de los metales sean altas en general, aunque hay mucha diversidad y excepciones, por ejemplo, los metales alcalinos y el plomo son muy blandos, mientras que el osmio y el platino son muy duros. Todos son sólidos excepto el Mercurio, el Cesio y el Francio que son líquidos.

2.-Puntos de fusión y ebullición: En general el enlace metálico mantiene los iones fuertemente unidos dado que la mayoría poseen puntos de fusión y de ebullición muy altos, aunque hay grandes variaciones, desde el cesio, (29ºC), hasta el platino que es casi infusible.Los puntos de fusión y ebullición dependen en gran medida de dos factores:
a) del tamaño: A medida que el tamaño del ion es mayor, el punto de ebullición disminuye.
b) del número de electrones cedidos por cada átomo: A medida que el número de electrones cedidos por cada átomo sea mayor, el punto de fusión será más alto.

3.-Conductividad eléctrica y térmica: Son buenos conductores eléctricos, ya que los electrones de la nube electrónica se pueden mover con total libertad. Por la misma razón, si los metales se calientan, los electrones adquieren mayor energía cinética que se va trasladando por todo el metal.

4.-Propiedades mecánicas: Son dúctiles (se pueden hacer hilos por estiramiento) y maleables (se pueden laminar) debido a la naturaleza de las fuerzas que mantienen unido al sólido, es decir, que siempre que la separación entre los cationes no sea muy grande, la nube electrónica los mantendrá unidos).

5.-Brillo: Debido a la movilidad de electrones, son capaces de absorber y después remitir prácticamente todas las longitudes de onda de la luz visible, por eso en general tienen un color negruzco y opaco; el cobre y el oro no remiten una parte de la radiación azul que reciben y por eso tienen un color amarillento.


Edificios moleculares



Entre las moléculas covalentes se establecen fuerzas de atracción eléctrica, cuya intensidad depende de la naturaleza de las mismas.
Vamos a diferenciar entre atracciones de dos tipos:


a) Fuerzas de Van der Waals: Fueron postuladas por este científico en 1873, y a pesar de que son mil veces menores que un enlace covalente, sin ellas no se podría explicar la licuación de determinados gases formados por moléculas no polares.
Las fuerzas de Van der Waals, son fuerzas débiles de atracción entre dipolos que pueden ser inducidos o permanentes.

El primer caso se produce entre sustancias no polares como el N2, O2, etc. e incluso entre átomos: He, Ne, etc. Si bajamos mucho la temperatura, los electrones de dichas sustancias pierden energía cinética, y entonces, es posible, que en un instante determinado exista más densidad de carga electrónica en un extremo de la molécula que en otro, creándose un dipolo inducido. Si ésto ocurre en moléculas (o átomos) contiguos, puede hacer que se atraigan formando uniones entre ellas, pudiéndose llegar a la licuación de dichos gases. A medida que el átomo o la molécula sea más grande, este dipolo inducido será más fácil de crear.

En el segundo caso, si las moléculas ya son polares, los dipolos se orientan para atraerse con el polo de signo contrario de la molécula vecina, existiendo fuerzas de atracción entre ellas. Aunque estas fuerzas siguen siendo débiles, son mayores que las del primer caso en las que el dipolo tiene que ser inducido.


b) Enlaces por puente de hidrógeno: Para que se produzca un enlace de este tipo, deben cumplirse tres condiciones:

-El hidrógeno se une a un elemento muy electronegativo (F, Cl, O o N), con lo que, al ser la diferencia de electronegatividad elevada, se forma un enlace covalente muy polar, donde el hidrógeno es el que se carga positivamente.

-El elemento al que se une el hidrógeno debe tener pares de electrones que no formen parte del enlace covalente polar con el hidrógeno.

-La molécula debe ser polar, es decir, debe carecer de simetría que anule los dipolos creados.

Entonces, se produce una doble atracción de tipo electrostático entre los dipolos de moléculas contiguas, es decir, el polo positivo de una molécula con el negativo de otra y el polo positivo del dipolo de una molécula con los pares de electrones no enlazantes del elemento al que se une el hidrógeno, de otra molécula.





Este es el llamado enlace por puente de hidrógeno que es mucho más fuerte que las fuerzas de Van der Waals.

Hay que señalar también que los enlaces por puente de hidrógeno se pueden dar entre moléculas diferentes (intermoleculares) o dentro de una misma molécula si su geometría es la adecuada (intramoleculares).
Es importante que se entienda que tanto las fuerzas de Van der Waals como los enlaces por puente de hidrógeno son mucho más débiles que los enlaces covalentes, y de hecho, cuando calentamos una sustancia covalente, se rompen de forma relativamente fácil los enlaces intermoleculares pero nunca los enlaces covalentes que unen a los distintos átomos de la molécula. Por ejemplo, cuando hervimos agua, no obtenemos hidrógeno y oxígeno sino vapor de agua, es decir, se han roto los enlaces por puente de hidrógeno pero no los enlaces covalentes que unen a los átomos de hidrógeno con el de oxígeno.




Propiedades de las sustancias moleculares

A temperaturas bajas, todos estos compuestos se encuentran en estado sólido formando redes cristalinas muy débiles. La formación de estas redes se explica por las débiles fuerzas de Van der Waals que se originan por atracción electrostática entre dipolos, ya sean permanentes o inducidos. Los de las moléculas apolares son sólidos blandos (como por ejemplo los de yodo), mientras que los de las sustancias polares son algo más duros ya que las fuerzas que unen las moléculas son algo más grandes, por ejemplo en el hielo.
En general tienen puntos de fusión y ebullición muy bajos, y van aumentando en función de la mayor polaridad de las moléculas o del mayor peso molecular, ya que, de esta manera, al ser más fácil crear el dipolo, las uniones serán más fuertes.

Las sustancias apolares no son conductoras de la corriente eléctrica ya que no poseen partículas cargadas que puedan quedar libres; sin embargo, las polares, al tener dipolos permanentes, pueden conducir, aunque poco, la electricidad.

Dichas sustancias suelen presentarse a temperatura ambiente y presión atmosférica como gases, aunque a medida que las fuerzas intermoleculares aumentan, pueden llegar a ser líquidos e incluso sólidos.
Cabe resaltar, también, que los líquidos covalentes polares, como el agua, tienden a ser muy buenos disolventes de las sustancias iónicas, pero la tendencia de las sustancias moleculares es a disolverse en disolventes apolares.




Edificios mixtos



En muchos casos una misma sustancia presenta una combinación de varios tipos de redes cristalinas, a menudo orientadas en planos o siguiendo un eje de simetría. En tales casos, la distribución de las redes y el predominio de una u otra determinará muchas propiedades de la sustancia, como la dureza o la conductividad eléctrica.

Un ejemplo típico de red mixta es el grafito, formado por átomos de carbono con enlace covalente muy fuerte distribuido en capas paralelas. Las conexiones entre las capas, sin embargo, son muy débiles, lo que permite separar láminas muy finas de este mineral con mucha facilidad.






En las láminas los átomos de C se unen mediante enlaces covalentes. mientras que las láminas se unen por enlaces moleculares. La debilidad del enlace que une las láminas hace que se puedan separar fácilmente y que la exfoliacion de este mineral sea perfecta.

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Fractura espontánea de la simetría

La simetría espontánea del que rompe en la física ocurre cuando un sistema que es el simétrico con respecto a un cierto grupo de la simetría entra un estado de vacío que no sea simétrico. A este punto el sistema aparece no más comportarse de una manera simétrica. Es un fenómeno que ocurre naturalmente en muchas situaciones. El grupo de la simetría puede ser discreto, por ejemplo el grupo de espacio de un cristal, o continuo (es decir un grupo de mentira ), por ejemplo la simetría rotatoria del espacio.

Un ejemplo común a ayudar a explicar este fenómeno es una bola que se sienta encima de una colina. Esta bola está en un estado totalmente simétrico. Sin embargo, no es estable: la bola puede rodar fácilmente abajo la colina. En un cierto punto, la bola rodará espontáneo abajo la colina en una dirección u otra. La simetría ha estado quebrada porque la dirección que la bola rodó abajo en ahora se ha seleccionado de otras direcciones.


Ejemplo matemático: el potencial del sombrero mexicano
En el ejemplo más simple, el campo espontáneo roto es descrito por un campo escalar . En la física, una forma de considerar la fractura espontánea de la simetría está con el uso Lagrangians Lagrangians, que esencialmente dictan cómo un sistema se comportará, se pueden dividir en términos cinéticos y potenciales

l (1) \ qquad \ {L} = mathcal \ partial^ \ MU \ phi \ partial_ \ MU \ phi - V (\ phi).
Está en este término del potencial ( V (&phi del ; )) que ocurre la acción de la fractura de la simetría. Un ejemplo de un potencial se ilustra en el gráfico en la derecha.

l (2) \ qquad V (\ phi) = -10\ phi^2 + \ phi^4 \,
Este potencial tiene muchos mínimos posibles (estados de vacío) dados cerca

l (3) \ e^ = \ raíz cuadrada {5} del qquad \ de la phi {i \ theta}
para cualquie &theta verdadero del ; entre el &pi de 0 y 2 ; . El sistema también tiene un estado de vacío inestable el corresponder al &Phi del ; = 0. Este estado tiene un U (1) simetría de . Sin embargo, una vez que el sistema cae en un estado de vacío estable específico (que corresponde a una opción del &theta del ; ) esta simetría será perdido o roto espontáneo.

En el modelo estándar, la fractura espontánea de la simetría es lograda usando el bosón de Higgs y es responsable de las masas W y de los bosones de Z. Una presentación levemente más técnica de este mecanismo se da en el artículo sobre la interacción de Yukawa, donde se demuestra cómo la fractura espontánea de la simetría se puede utilizar para dar la masa a los fermios


Un concepto más amplio

Más generalmente, podemos tener simetría espontánea el romperse en situaciones no vacías y para los sistemas no descritos por acciones. El concepto crucial aquí es el parámetro de la orden. Si hay un campo (a menudo un campo del fondo) que adquiere un valor de expectativa (no no necesario un valor de expectativa del vacío del ) que no sea invariante bajo simetría en la pregunta, decimos que el sistema está en el pidió la fase y la simetría está espontáneo quebrada. Esto es porque otros subsistemas obran recíprocamente con el parámetro de la orden que forma un " marco del reference" para ser medido contra, así que hablar.
Si un estado de vacío obedece la simetría inicial entonces el sistema reputa en el modo de Wigner del, si no está en el modo de Goldstone del .


Ejemplos

Para los materiales ferromagnéticos, las leyes que lo describen son invariantes bajo rotaciones espaciales. Aquí, el parámetro de la orden es la magnetización, que mide la densidad del dipolo magnético. Sobre la temperatura de curie, el parámetro de la orden es cero, que es espacial invariante y no hay fractura de la simetría. Debajo de la temperatura de curie, sin embargo, la magnetización adquiere un constante (en la situación idealizada donde tenemos equilibrio completo; si no, la simetría de translación consigue también) el valor diferente a cero roto que señala en cierta dirección. Las simetrías rotatorias residuales que sale de la orientación de este vector invariante siga habiendo intacto solamente las otras rotaciones consiguen rotas espontáneo.

Las leyes que describen un sólido son invariantes bajo grupo euclidiano completo, pero el sólido sí mismo rompe espontáneo a este grupo abajo a un grupo de espacio . La dislocación y la orientación son los parámetros de la orden.

Las leyes de la física están espacial el invariante, pero aquí en la superficie de la tierra, tenemos un campo gravitacional del fondo (que desempeñe el papel del parámetro de la orden aquí) que señala hacia abajo, rompiendo la simetría rotatoria completo. different" pero todas las direcciones horizontales siguen siendo el isotrópico.

La relatividad general tiene una simetría del calibrador de Lorentz, pero en modelos cosmológicos de FRW, el campo malo de 4 velocidades definido haciendo un promedio sobre las velocidades de las galaxias (el acto de las galaxias como partículas del gas en las escalas cosmológicas) actúa como parámetro de la orden que rompe esta simetría de Lorentz. Los comentarios similares se pueden hacer sobre el fondo cósmico de la microonda.

Aquí en la tierra, la invariación galilea (en la aproximación no relativista) está quebrada por el campo de la velocidad de la tierra/de la atmósfera, que actúa como el parámetro de la orden aquí. Esto explica porqué los cuerpos móviles pensados gente tienden hacia resto antes de Galileo. Tendemos a no ser conscientes de simetrías quebradas.

Para el modelo del electroweak, según lo explicado anterior, el campo de Higgs actúa como el parámetro de la orden que rompe la simetría del calibrador del electroweak a la simetría electromágnetica del calibrador. Como el ejemplo ferromagnético, hay una transición de fase en la temperatura del electroweak. El mismo comentario sobre nosotros que no tienden a notar simetrías rotas explica porqué duró tan para que descubramos la unificación del electroweak.

Para los superconductores, hay un &psi condensado colectivo del campo de la materia; cuál actúa como el parámetro de la orden que rompe la simetría electromágnetica del calibrador.

En la relatividad general, la covariación de Diffeomorphism está quebrada por el parámetro diferente a cero de la orden, el campo métrico del tensor .

Tomar una regla plástica plana que sea idéntica en ambos lados y empujar ambos extremos juntos. Antes de abrochar, el sistema es simétrico bajo reflexión sobre el plano de la regla. Pero después de abrochar, de él hebillas hacia arriba o hacia abajo.

Considerar una capa uniforme del líquido sobre un plano horizontal infinito. Este sistema tiene todas las simetrías del plano euclidiano. Pero ahora calentar el fondo uniformemente de modo que llegue a ser mucho más caliente que la superficie superior. Cuando el gradiente de temperatura llega a ser bastante grande, las células de la convección formarán, rompiendo la simetría euclidiana.

Considerar un grano en un aro circular que se gire sobre un diámetro vertical . Pues la velocidad rotatoria se aumenta gradualmente de resto, el grano permanecerá inicialmente en su punto de equilibrio inicial en la parte inferior del aro (intuitivo establo, del potencial gravitacional más bajo). En cierta velocidad rotatoria crítica, este punto llegará a ser inestable y el grano saltará a uno de dos otros equilibrios creados recientemente, equidistante del centro. Inicialmente, el sistema es simétrico con respecto al diámetro, con todo después de pasar la velocidad crítica, el grano debe elegir entre los dos nuevos puntos de equilibrio, así rompiendo simetría. Nota: Esto se puede intentar fácilmente en el país con un taladro eléctrico, un mármol, y una cubierta del pote, (o cualquie otra combinación que usted pueda pensar en) y es el análogo de dos dimensiones, mecánico de la fractura de la simetría que ocurre en el campo del bosón de Higgs.


Nombre: Edymar Gonzalez Albarracin

C.I: 19.502.773

http://enciclopediaespana.com/Fractura_espont%C3%A1nea_de_la_simetr%C3%ADa.html

Universal Symmetry

A Snowflake
We don't have to examine nature very closely to see its beauty. A bird, a forest or a galaxy has a form of beauty which is typical of complex organised systems. A snowflake has another element to its beauty which is also very common in nature but which is often only evident on close inspection. We call it symmetry.

The snowflake begins its life as a minute hexagonal crystal forming in a cloud. During its passage from there to the ground, it experiences a sequence of changes in temperature and humidity which cause it to grow at varying rates. Its history is recorded in the variations of thickness in its six petals as it grows. This process ensures that each petal is virtually identical and accounts for the snowflakes symmetry.

When a snowflake is rotated through an angle of 60 degrees about its centre, it returns to a position where it looks the same as before. It is said to be invariant under such a transformation and it is invariance which characterises symmetry. The shape of the snowflake is also invariant if it is rotated through 120 degrees. It is invariant again if it is turned over. By combining rotations and turning over it is possible to find 12 different transformations (including the identity transformation which does nothing). We say that the order of the snowflakes symmetry is 12.

Consider now the symmetry of a regular tetrahedron. That is a solid shape in the form of a pyramid with a triangular base for which all four faces are equilateral triangles. The shape of a regular tetrahedron is invariant when it is rotated 120 degrees about an axis passing through a vertex. It is also invariant when rotated 180 degrees about an axis passing through the midpoints of opposite edges. If you make a tetrahedron and experiment with it you will find that it has a symmetry of order 12. But the symmetry of the tetrahedron is not quite the same as that of a snowflake because the snowflake has a transformation which must be repeated six times to restore it to its original position and the tetrahedron does not.

Mathematicians have provided precise definitions of what I meant by not quite the same. The invariance transformations of any shape form an algebraic structure called a group when you consider composition of transformations as multiplication. Two groups are isomorphic if there is a one-to-one mapping between them which respects the multiplication. Groups can be considered to be a mathematical abstraction of symmetry and mathematicians have spent a great deal of effort in classifying them but with only partial success. One spectacular achievement is the complete classification of finite simple groups which culminated in the discovery of the monster group which has 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 elements. It is a subject of great beauty in itself.

There are also infinite order symmetries described by infinite groups. The simplest example is the group of rotations in a plane which describes the symmetry of a circle. Mathematicians have also succeeded in classifying an important class of infinite dimensional groups known as semi-simple Lie groups.

Symmetry in physics
Symmetry is important in physics because there are all kinds of transformations which leave the laws of physics invariant. For example, we know that the laws of physics are the same everywhere. I.e. we can detect no difference in the results of any self contained experiment which depends on where we do it. Another way to say the same thing is that the laws of physics are invariant under a translation transformation. The infinite dimensional group of translation transformations is a symmetry of the laws of physics.

The next important example is rotation symmetry. The laws of physics are invariant under rotations in space about any axis through some origin. An important difference between the translation symmetry and the rotation symmetry is that the former is abelian while the latter is non-abelian. An Abelian group is one in which the order of multiplication does not matter, they commute. This is true of translations but is not true of rotations about different axis.

If the laws of physics are invariant under both rotations and translations then they must also be invariant under any combination of a rotation and a translation. In this way we can always combine any two symmetries to form a larger one. The smaller symmetries are contained within the larger one. Note that the symmetry of a snowflake is already contained within rotation symmetry. Mathematicians say that the invariance group of the snowflake is a subgroup of the rotation group.

Hidden Symmetry
Symmetry in physics is not always evident at first sight. When we are comfortably seated on the ground we notice a distinct difference between up and down, and between the horizontal and the vertical. If we describe the motion of falling objects in terms of physical laws which have the concept of vertical and horizontal built in then we do not find the full rotational symmetry in those laws. Many ancient philosophers thought that the Earth marked a special place at the centre of the universe. In such a case we could not say that the laws of physics were invariant under translations.

It was the Copernican revolution that changed all that. Newton discovered a law of gravity which could at the same time account for falling objects on Earth and the motion of the planets in the Solar system. From that point on it could be seen that the laws of physics are invariant under rotations and translations. It was a profound revelation. Whenever new symmetries of physics are discovered the laws of physics become more unified. Newton's discovery meant that it was no longer necessary to have different theories about what was happening on Earth and what was happening in space.

Once the unifying power of symmetry is realised and combined with the observation that symmetry is not always recognised at first sight, the great importance of symmetry is revealed. Physicists have discovered that as well as the symmetries of space transformations, there are also more subtle internal symmetries which exist as part of the forces of nature. These symmetries are important in particle physics. In recent times it has been discovered that symmetry can be hidden through mechanisms of spontaneous symmetry breaking. Such mechanisms are thought to account for the apparent differences between the known forces of nature. This increases the hope that there are other symmetries not yet found. Ultimately we may discover the universal symmetry which combines all other symmetries of physics.

Conservation Laws
During the centuries which followed Newton's work physicists and mathematicians came to realise that there is a deep relationship between symmetry and conservation laws in physics. The law of conservation of momentum is related to translation invariance, while angular momentum is related to rotation invariance. Conservation of energy is due to the invariance of the laws of physics with time.

The relationship was finally established in a very general mathematical form known as Noether's theorem. Mathematicians had discovered that classical laws of physics could be derived from a philosophically pleasing principle of least action. Noether showed that any laws of this type which have a continuous symmetry would have a conserved quantity which could be derived from the action principle.

Although Noether's work was based on classical Newtonian notions of physics. The principle has survived the quantum revolution of the twentieth century. In quantum mechanics we find that the relationship between symmetry and conservation is even stronger. There are even conservation principles related to discrete symmetries.

An important example of this is parity. Parity is a quantum number which is related to symmetry of the laws of physics when reflected in a mirror. Mirror symmetry is the simplest symmetry of all since it has order two. If the laws of physics were indistinguishable from their mirror inverse then according to the rules of quantum mechanics parity would be conserved. It was quite a surprise to physicists when they discovered that parity is not conserved in weak nuclear interactions. Because these interactions are not significant in our ordinary day-to day life, we do not normally notice this asymmetry of space.

Simple laws of mechanics as well as those of gravity and electrodynamics are symmetric under mirror inversion. They are also invariant under time reversal. This is a little surprising because our everyday world does not appear to be symmetric in this way, there is a clear distinction between future and past. Time reversal is also broken by the weak interaction but not enough to account for the perceived difference. There is a combined operation of mirror inversion and time reversal and a third operation which exchanges a particle with its antiparticle image. This is known as CPT. Again the universe does not appear to realise particle-antiparticle symmetry macroscopically because there seems to be more matter than anti-matter in the universe. However, CPT is an exact symmetry of all interactions, as far as we know.

Relativity
There is another symmetry which is found in ordinary mechanics. If you are travelling in a modern high speed train like the French TGV, on a long straight segment of track, it is difficult to tell that you are moving without looking out of the window. If you could play a game of billiards on the train, you would not notice any effects due to the speed of the train until it turned a corner or slowed down.

This can be accounted for in terms of an invariance of the laws of mechanics under a Galilean transformation which maps a stationary frame of reference onto one which is moving at constant speed.

When you examine the laws of electrodynamics discovered by Maxwell you find that they are not invariant under a Galilean transformation. Light is an electrodynamic wave which moves at a fixed speed c. Because c is so fast compared with the speed of the TGV, you could not notice this on a train. However, towards the end of the nineteenth century, a famous experiment was performed by Michelson and Morley. They hoped to detect changes in the speed of light due to the changing direction of the motion of the Earth. To everyone's surprise they could not detect the difference.

Maxwell believed that light must propagate through some medium which he called ether. The Michelson-Morley experiment failed to detect the ether. The discrepancy was finally resolved by Einstein when he discovered special relativity. The Galilean transformation, he realised, is just an approximation to a Lorentz transformation which is a perfect symmetry of electrodynamics. The correct symmetry was there in Maxwell's equations all along but symmetry is not always easy to see. In this case the symmetry involved an unexpected mixing of space and time co-ordinates. Minkowski later explained that Einstein had unified space and time into one geometric structure which was thereafter known as space-time.

It seems that Einstein was more strongly influenced by symmetry principles than he was by the Michelson-Morley experiment. According to the scientific principle as spelt out by Francis Bacon, theoretical physicists should spend their time fitting mathematical equations to empirical data. Then the results can be extrapolated to regions not yet tested by experiment in order to make predictions. In reality physicists have had more success constructing theories from principles of mathematical beauty and consistency alone. Symmetry is an important part of this method of attack.

Einstein demonstrated the power of symmetry again with his dramatic discovery of general relativity. This time there was no experimental result which could help him. Actually there was an observed discrepancy in the orbit of Mercury but this could just as easily have been corrected by some small modification to Newtonian gravity. Einstein knew that Newton's description of gravity was inconsistent with special relativity, and even if there were no observation which showed it up, there had to be a more complete theory of gravity which complied with the principle of relativity.

Since Galileo's experiments on the leaning tower of Pisa, it was known that inertial mass is equal to gravitational mass. Einstein realised that this would imply that an experiment performed in an accelerating frame of reference could not separate the apparent forces due to acceleration from those due to gravity. This suggested to him that a larger symmetry which included acceleration might be present in the laws of physics.

It took several years and many thought experiments before Einstein completed the work. He realised that the equivalence principle implied that space-time must be curved, and the force of gravity is a direct consequence of this curvature. In modern terms the symmetry he discovered is known as diffeomorphism invariance. It means that the laws of physics take the same form when written in any 4d co-ordinate system on space-time.

I would like to stress that the symmetry of general relativity is a much larger symmetry than any which had been observed in physics before. We can combine rotation invariance, translation invariance and Lorentz invariance to form the complete symmetry group of special relativity which is known as the Poincare group. The Poincare group can be parameterised by ten real numbers. We say it has dimension 10. Diffeomorphism invariance, on the other hand, cannot be parameterised by a finite number of parameters. It is an infinite dimensional symmetry.

Diffeomorphism invariance is a hidden symmetry. If the laws of physics were invariant under any change of co-ordinates in a way which could be clearly observed, then we would expect the world around us to behave as if everything could be deformed like rubber. The symmetry is hidden by the local form of gravity just as the constant vertical gravity seems to hide rotational symmetry in the laws of physics. On cosmological scales the laws of physics do have a more versatile form allowing space-time to deform, but on smaller scales only the Poincare invariance is readily observed.

Einstein's field equations of general relativity which describe the evolution of gravitational fields, can be derived from a principle of least action. It follows from Noether's theorems that there are conservation laws which correspond to energy, momentum and angular momentum but it is not possible to distinguish between them. A special property of conservation equations derived from the field equations is that the total value of a conserved quantity integrated over the volume of the whole universe is zero, provided the universe is closed. This fact is useful when sceptics ask you where all the energy in the universe came from if there was nothing before the big bang! However, the universe might not be finite.

A final remark about relativity is that the big bang breaks diffeomorphism invariance in quite a dramatic way. It singles out one moment of the universe as different from all the others. It is even possible to define absolute time as the proper time of the longest curve stretching back to the big bang. This fact does not destroy relativity provided the big bang can be regarded as part of the solution rather than being built into the laws of physics. In fact we cannot be sure that the big bang is a unique event in our universe. Although the entire observable universe seems to have emerged from this event it is likely that the universe is much larger than what is observable. In that case we can say little about its structure on bigger scales.

Gauge Symmetry
What about electric charge? It is a conserved quantity so is there a symmetry which corresponds to charge according to Noether's theorem? The answer comes from a simple observation about electric voltage. It is possible to define an electrostatic potential at any point in space. The voltage of a battery is the difference in this potential between its terminals. In fact there is no way to measure the absolute value of the electrostatic potential. It is only possible to measure its difference between two different points. In the language of symmetry we would say that the laws of electrostatics are invariant under the addition of a value to the potential which is the same everywhere. This describes a symmetry which through Noether's theorem can be related to conservation of electric charge.

In fact the electric potential is just one component of the electromagnetic vector potential which can be taken as the dynamical variables of Maxwell's theory allowing it to be derived from an action principle. In this form the symmetry is much larger than the simple one parameter invariance I just described. It corresponds to a change in a scalar field of values defined throughout space-time. Like the diffeomorphism invariance of general relativity this symmetry is infinite dimensional. Symmetries of this type are known as gauge symmetries.

Both diffeomorphism invariance and the electromagnetic symmetry are local gauge symmetries because they correspond to transformation which can be parameterised as fields throughout space-time. In fact there are marked similarities between the forms of the equations which describe gravity and those which describe electrodynamics, but there is an essential difference too. Diffeomorphism invariance describes a symmetry of space-time while the symmetry of electromagnetism acts on some abstract internal space of the components of the field.

The gauge transformation of electrodynamics acts on the matter fields of charged particles as well as on the electromagnetic fields. The phase of the matter fields is multiplied by a phase factor. Through this action the transformation is related to the symmetry group of the circle which is known as U(1).

In the 1960s physicists were looking for quantum field theories which could explain the weak and strong nuclear interactions as they had already done for the electromagnetic. They realised that the U(1) gauge symmetry could be generalised to gauge symmetries based on other Lie groups. As I have already said, an important class of such theories has been classified by mathematicians. They can be described as matrix groups which fall into three families parameterised by an integer N and five exceptional groups:

The orthogonal groups SO(N)
The unitary groups SU(N)
The symplectic groups Sp(N)
Exceptional Groups G2 F4 E6 E7 E8
The best thing about gauge symmetry is that once you have selected the right group the possible forms for the action of the field theory are extremely limited. Einstein found that for general relativity there is an almost unique most simple form with a curvature term and an optional cosmological term. For internal gauge symmetries the corresponding result is Yang-Mills field theory. From tables of particles physicists were able to conjecture that the strong nuclear interactions used the gauge group SU(3). The weak interaction was a little more difficult. It turned out that the symmetry was SU(2)xU(1) but that it was broken by a Higgs mechanism. By this use of symmetry theoretical physicists were able to construct the complete standard model of particle physics which has kept the experimentalists busy for 30 years.

Super symmetry
Symmetry is proving to be a powerful unifying tool in particle physics because through symmetry and symmetry breaking, particles which appear to be different in mass, charge etc. can be understood as different states of a single unified field theory. Ideally we would like to have a completely unified theory in which all particles and forces of nature are related through a broken symmetry.

A possible catch is that fermions and bosons cannot be related by the action of a classical group based symmetry. One way out of this problem would be if all bosons were revealed to be bound states of fermions. but the gauge bosons appear to be fundamental.

A more favourable possibility is that fermions and bosons are related by supersymmetry. Supersymmetry is an algebraic construction which is a generalisation of the Lie-group symmetries already observed in particle physics. It is a type of symmetry which can not be described by a classical group, but it has most of the essential algebraic properties.

If supersymmetry existed in nature we would expect to find that fermions and bosons came in pairs of equal mass. In other words there would be bosonic squarks and selectrons with the same masses as the quarks and electrons, as well as fermionic photinos and higgsinos with the same masses as photons and Higgs. The fact that no such partners have been observed implies that supersymmetry must be broken if it exists.

It is probably worth adding that there may be other ways in which supersymmetry is hidden. For example, If quarks are composite then the quark constituents could be supersymmetric partners of gauge particles. Also the creation and annihilation operators of fermions define a supersymmetry. Finally, Witten has found a mechanism which allows particles to have different masses even though they are supersymmetric partners and the symmetry is not broken.

There is now some indirect experimental evidence in favour of supersymmetry, but the main reasons for believing in its existence are purely theoretical. During the 1970s it was discovered that a form of space-time supersymmetry applied to general relativity provides a perturbative quantum field theory for gravity which has better renormalisation behaviour. This was one of the first breakthroughs of quantum gravity.

The big catch with supergravity theories is that they work best in ten or eleven dimensional space-time. To explain this discrepancy with nature theorists revived an old idea called Kaluza-Klein theory which was originally proposed as a way to interpret internal gauge theories geometrically. According to this idea space-time has more dimensions than are apparent. All but four of them are compacted into a ball so small that we do not notice it. Particles are then supposed to be modes of vibration in the geometry of these extra dimensions. If we believe in supergravity then even fermions fall into this scheme.

At one point supergravity looked very promising as a theory which might unify all physics. At the time I was a student at Cambridge University where Stephen Hawking was taking up his position as new Lucasian professor. There was great anticipation of his inaugural lecture and even though I made a point of turning up early I found only standing room in the auditorium. It was an exciting talk at which Hawking made some of his most famous comments. He confidently predicted that the end of physics was in sight. But early hopes faded as the perturbative calculations in supergravity became difficult and it seemed less likely that it defined a renormalisable field theory. Hawking maintains his controversial claim.

Supergravity was quickly superseded by superstring theory. String theories had earlier been considered as a model for strong nuclear forces but, with the addition of supersymmetry it became possible to consider them as a unified theory including gravity. In fact, supergravity is present in superstring theories.

Enthusiasm for superstring theories became widespread after Schwartz and Green discovered that a particular form of string theory was not only renormalisable, it was even finite to all orders in perturbation theory. That event started many research projects which are a story for another article. All I will say now is that string theory is believed to have much more symmetry than is understood, but its nature and full form is still a mystery.

String theory has also excited some mathematicians. They have found that in certain background space-times it has a symmetry described by the fake monster super Lie algebra which is related to the finite monster group.

Universal Symmetry
We have seen how symmetry in nature has helped physicists uncover the laws of physics. Symmetry is a unifying concept. It has helped combine the forces of nature as well as joining space and time. There are other symmetries in nature which I have not yet mentioned. These include the symmetry between identical particles and the symmetry between electric and magnetic fields in Maxwell's equations of electrodynamics. Symmetry is often broken or hidden so it is quite possible that there is more.

There is plenty of good reason to think that there is more. Both general relativity and quantum mechanics are full of symmetry so it would be natural to imagine that a unified theory of quantum gravity would combine those symmetries into a larger one. String theory certainly seems to have many forms of symmetry: conformal symmetries, W-symmetries dualities etc. There is evidence within string theory that it contains a huge symmetry which has not yet been revealed.

The information paradox in the thermodynamics of black holes might be solved by a hologram mechanism. This would require that the number of effective degrees of freedom in quantum gravity can be reduced by a large gauge transformation; more evidence for a peculiar hidden symmetry in quantum gravity.

It seems that there is some universal symmetry in nature that has yet to be found. It will be a symmetry which includes the gauge symmetries and perhaps also the symmetry of identical particles. The existence of this symmetry is a big clue to the nature of the laws of physics and may provide the best hope of discovering them with little further empirical data.

The importance of the symmetry in a system of identical particles is often overlooked. The symmetry group is the permutation group acting to exchange particles of the same type. The reason why this symmetry is not considered to be as important as gauge symmetry lies in the relationship between classical and quantum physics. There is an automatic scheme which allows a classical system of field equations derived from a principle of least action to be quantised. This can be done either through Dirac's canonical quantisation or Feynman's path integral. The two are formally equivalent. In modern quantum field theory a classical field is quantised and particles arise as a result. Gauge symmetry is a symmetry of the classical field which is preserved in the process of quantisation. The symmetry between identical particles, however, does not exist in the classical theory. It appears along with the particles during the process of quantisation. Hence it is a different sort of symmetry.

But the matter can not simply be left there. In a non-relativistic approximation of atomic physics it is possible to understand the quantum mechanics of atoms by treating them first of all as a system of classical particles. The system is quantised in the usual way and the result is the Schroedinger wave equation for the atom. This time we have gone from a classical particle picture to a field theory and the symmetry between particles existed as a classical symmetry.

This observation suggests that the relationship between classical and quantum systems is not so clear as it is often portrayed and that the permutation group could also be a part of the same universal symmetry as gauge invariance. This claim is now supported by string theory which appears to have a mysterious duality between classical and quantum formulations. A further clue may be that the algebra of fermionic creation and annihilation operators generate a supersymmetry which includes the permutation of identical particles.

What will the universal symmetry look like? The mathematical classification of groups is incomplete. Finite simple groups have been classified and so have semi-simple Lie groups. But infinite dimensional groups appear in string theory and these are so far beyond classification. Further more, there are new types of symmetry such as supersymmetry and quantum groups which are generalisations of classical symmetries. These symmetries are algebraic constructions which preserve an abstract form of invariance. They turn up in several different approaches to quantum gravity including string theory so they are undoubtedly important. This may be because of their importance in understanding topology. At the moment we don't even know what should be regarded as the most general definition of symmetry let alone having a classification scheme.

There seems little doubt that there is much to be learnt in both mathematics and physics from the hunt for better symmetry. The intriguing idea is that there is some special algebraic structure which will unify a whole host of subjects through symmetry, as well as being at the root of the fundamental laws of physics.

Edymar Gonzalez A
19.502.773
CRF

http://www.weburbia.com/pg/symmetry.htm

Topological states of quantum matter

Electrons in graphene can be described by the relativistic Dirac equation for massless fermions and exhibit a host of unusual properties. The surfaces of certain band insulators—called topological insulators—can be described in a similar way, leading to an exotic metallic surface on an otherwise “ordinary” insulator.

Most quantum states of matter are categorized by the symmetries they break. For example, the crystallization of water into ice breaks translational symmetry or the magnetic ordering of spins breaks rotational symmetry. However, the discovery in the early 1980s of the integer and fractional quantum Hall effects has taught us that there is a new organizational principle of quantum matter. In the quantum Hall state, an external magnetic field perpendicular to a two-dimensional electron gas causes the electrons to circulate in quantized orbits. The “bulk” of the electron gas is an insulator, but along its edge, electrons circulate in a direction that depends on the orientation of the magnetic field. The circulating edge states of the quantum Hall state are different from ordinary states of matter because they persist even in the presence of impurities. The reason for this is best expressed mathematically (it is related to the quantization of Berry’s phases, see, for example, Physics Today August 2003 [1]), and is not intuitively obvious, but the effect—circulating current—is real and measurable.

In the last few years, a number of theorists realized that the same “robust” conducting edge states that are found in the quantum Hall state could be found on the boundary of two-dimensional band insulators with large spin-orbit effect, called topological insulators. In these insulators, spin-orbit effects take the role of an external magnetic field, with spins of opposite sign counter-propagating along the edge [2-5]. In 2006, my colleagues and I predicted this effect (later confirmed) on the edge of HgTe quantum wells [2, 3]—the first experimentally realized quantum spin Hall state. In 2007 Liang Fu and Charles Kane of the University of Pennsylvania predicted that a three-dimensional form of the topological insulator with conducting surface states could exist in Bi1-xSbx, an alloy in which spin-orbit effects are large [6]. Earlier this year, photoemission measurements of the surface of Bi1-xSbx supported this picture [7], strongly suggesting that Bi1-xSbx is the first realization of a topological insulator in three dimensions and that its surface is a topological metal in two dimensions. Now, in an article appearing in the current issue of Physical Review B [8], the same authors and Jeffrey Teo present a detailed calculation of the electronic structure of the surface states in this material that can be directly tested in future experiments.

To understand why the surface of Bi1-xSbx is exotic, it helps to think about what a surface is like in a “normal” insulator. Recall that the surface and bulk states of electrons inside crystalline solids are described by wave functions obtained from solving Schrödinger’s equation. This quantum mechanical framework predicts that there are gaps in the electronic energy spectrum where no wave solutions are possible inside the bulk crystal. If the Fermi level lies inside this energy gap (or “band gap”), the solid is insulating. However, dangling bonds or a reorganization of atoms on the surface can introduce states that have energies that lie within the forbidden energy gap, but are restricted to move around the two-dimensional surface. In most situations these conducting surface states are very fragile and their existence depends on the details of the surface geometry and chemistry. In contrast, in a topological insulator, these surface states are protected, that is, their existence does not depend on how the surface is cut or distorted. Again, the reason for this is, at its root, mathematical, and lies in the fact that the Hamiltonian describing the surface states is invariant to small perturbations.

The concept of a topological insulator is perhaps confusing, because when we think of two objects as topologically distinct, we imagine the difference between say, a Möbius strip and a rubber band (Fig. 1). We can’t deform one into the other. The same is true for the Hamiltonian that describes a topological insulator: the Hamiltonian permits conducting states that circulate along the edge (in a two-dimensional insulator) or the surface (in the three-dimensional case) and no simple deformation to the edge (or surface) can destroy these conducting states. Moreover, the conducting states are real and can be measured, and in the case of the quantum spin Hall state, are naturally spin polarized, which can have interesting applications in spintronics.

What’s special about the surface of Bi1-xSbx that it has these properties? It turns out that the surface states of this alloy are similar to the two-dimensional states in graphene. Near the Fermi level, electrons and holes in graphene are described by energy states that are linear in momentum. Electrons with a constant velocity are conveniently described by the relativistic Dirac equation for massless fermions. (The electrons in graphene are not actually massless; the linear bands result from the atomic structure of this two-dimensional system.) In two-dimensional k-space, the dispersion relation looks like two cones that meet at discrete (Dirac) points at the Fermi level. However, while graphene has an even number of Dirac points at the Fermi level, Bi1-xSbx has an odd number. Kramers theorem tells us that the degeneracy of states with an even number of electrons that obeys time reversal symmetry will always be lifted. For this reason, the surface states in graphene are easily destroyed because a gap will open (they are “topologically trivial”) while the surface states of Bi1-xSbx are said to be “topologically protected” [10-13] (see Fig. 1). In fact, in graphene, if one distorts the energies of the two carbon atoms in one unit cell relative to each other, the Dirac points disappear immediately. In contrast, the massless Dirac states on the surface of Bi1-xSbx are robust, even if the surface itself is slightly imperfect or possesses impurities.

In their paper, Teo et al. use a tight-binding model (a well-established method for determining the band structure in an insulator) that they solve numerically to determine the electronic structure on a particular Bi1-xSbx surface. The model reproduces the surface structure of Bi1-xSbx and the authors can determine which surfaces will behave as topological metals. However, the paper also makes general symmetry arguments that are model independent that could potentially be applied to determine if other materials are good candidates for topological insulators.

Topological quantum states of matter are very rare and until recently the quantum Hall state provided the only experimentally realized example. The application of topology to physics is an exciting new direction that was first initiated in particle physics and quantum field theory. However, there are only a few topological effects that have been experimentally tested in particle physics. Topological states of quantum matter now offer a new laboratory to test some of the most profound ideas in mathematics and physics. In 2007, the theoretical prediction and experimental observation of the quantum spin Hall state—a topological insulator in two dimensions—in HgTe quantum wells was highlighted as one of the top ten breakthroughs among all sciences [2, 3, 9].

Topological states of quantum matter are generally described by topological field theories. Readers may already be familiar with Maxwell’s field theory describing the electromagnetic fields and Einstein’s field theory describing the gravitational fields. These field theories depend on the geometry of the underlying space. In contrast, topological field theories do not depend on the geometry, but only on the topology of the underlying space.

One of the most striking predictions of topological field theory is the so-called topological magnetoelectric effect, where an electric field induces a magnetic field along the same direction inside a topological insulator, with a constant of proportionality given by odd multiples of the fine structure constant [13]. Such a prediction can be readily tested in Bi1-xSbx . Although the tight-binding model that the authors use to calculate the electronic band structure for Bi1-xSbx is more complicated that that for HgTe, and there are some quantitative disagreements with the first principle calculations, its essential properties can be understood with a simple topological field theory.

Now that two topological states of quantum matter have been experimentally discovered—the quantum Hall and the quantum spin Hall states—one may naturally wonder about how they would fit into a bigger unifying picture. For example, the periodic table gives an organizational principle of all elements, and symmetry principles fit all elementary particles into their right places. The paper from the Kane group suggests that what we know about topological insulators may be just the tip of the iceberg and that other classification schemes exist as well. Once we discover the deeper organizational principle of topological states of quantum matter, we may be able to predict many more, each with its own unique and beautiful properties.

Illustration: Alan Stonebraker

Figure 1: When we think of topology, we normally think of objects that cannot be simply transformed into each other, such as a rubber band and a Möbius strip (top). The metallic surface of a topological insulator is different from an ordinary surface because its metallic nature is protected by certain symmetry invariants. In this sense, it cannot be simply transformed into the surface of a normal insulator. The sketches (bottom) show the electronic structure (energy versus momentum) for a “trivial” insulator (left) and a strong topological insulator (right), such as Bi1-xSbx. In both cases, there are allowed electron states (black lines) introduced by the surface that lie in the bulk band gap (the bulk valence and conduction bands are indicated by the green and blue lines, respectively). In the trivial case, even a small perturbation (say, changing the chemistry of the surface) can open a gap in the surface states, but in the nontrivial case, the conducting surface states are protected. Note that in the topological insulator, the surface states are linear in momentum and meet at an odd number of points in k-space

Nuevo condensado de Bose-Einstein en un chip de semiconductores

En una continuación de su reciente trabajo en Nature (Nature (2009) 457: 291-295), el grupo SEMICUAM de la Universidad Autónoma de Madrid revela la existencia de una rotura espontánea de simetría en microcavidades semiconductoras. Esta rotura está asociada con la formación de un estado condensado de tipo Bose-Einstein (estado de agregación de la materia que se da en ciertos materiales a muy bajas temperaturas).


En la escuela aprendemos que existen tres formas de materia: sólidos, líquidos y gases. Sin embargo, los físicos saben bien que esto es una gran simplificación y en la actualidad se consideran una gran cantidad de estados diferentes: basta con pensar en metales, aislantes, cristales líquidos, vidrios u otros más llamativos como superconductores o condensados de Bose-Einstein y estados superfluidos de la materia.

En este respecto, las preguntas que tratan de responder los físicos son: ¿qué es lo que distingue a estos estados diferentes de la materia? ¿Qué nos permite decir que el agua y el aceite de oliva son líquidos mientras que el silicio y el oro son sólidos? La experiencia muestra que la mayoría de las distintas fases de la materia se diferencia en su simetría. Consideremos agua y hielo: el agua, al tener sus moléculas distribuidas de forma irregular y desorganizada, tiene una simetría (bajo traslaciones y rotaciones) completa; sin embargo el hielo, al cristalizar y ocupar sus moléculas posiciones bien definidas en una disposición ordenada (cristal), tiene rotas ambas simetrías.

En Física se producen muchas roturas espontáneas de simetría cuando un sistema pasa de un estado simétrico a otro que no lo es, tal como en la transición de agua a líquido mencionada anteriormente o la magnetización de un imán. Jeremy Goldstone encontró un teorema, que lleva su nombre, que establece que cuando se rompe espontáneamente una simetría aparecen nuevas excitaciones colectivas del sistema. Estas excitaciones de baja frecuencia se denominan modos de Goldstone. La rotura de la simetría implica que los sistemas se vuelven rígidos: en los cristales aparece una rigidez a deformaciones de cizalla y ondas acústicas (fonones) de baja frecuencia; en los imanes una rigidez magnética y ondas de spin (magnones). En condensados de Bose-Einstein la rigidez conduce a la superfluidez.

Gracias, de nuevo, a la financiado a través de Programas como el Consolider QOIT del Ministerio de Ciencia e Innovación y el NANOCOMIC del Programa de Excelencia de la Comunidad de Madrid, el grupo SEMICUAM, en colaboración con colegas de la Ecole Polytechnique Federal de Laussane en Suiza, de la Universidad de Trento en Italia y del CNRS en París, reporta en el último número de Physical Review Letters (Phys. Rev. Lett. (2009). 102: 056402) la obtención de nuevos resultados experimentales, en los mismos chips utilizados en su reciente trabajo de Nature, que confirman la formación de un modo de Goldstone. Así corroboran y demuestran la presencia de “rigidez” y por tanto de superfluidez del condensado Bose-Einstein formado por la condensación de los polaritones en las microcavidades. La obtención de estados de polaritones coherentes y de vida larga es fundamental para los estudios futuros de la dinámica cuántica de sistemas condensados fuera del equilibrio.

Observación experimental de la dispersión (relación Energía-Momento) de polaritones en una microcavidad a través de su emisión de luz: (Arriba) En el caso de formación de un condensado tipo Bose-Einstein. (Abajo) En el caso de polaritones independientes (mostrado para comparación).La emisión está normalizada a 1 en una escala de color lineal.